Los monomios, binomios y trinomios se refieren a tipos específicos de polinomios que consisten en una cierta cantidad de términos (expresiones separadas por signos de suma y resta). Como sugerirían sus nombres, consisten en uno, dos y tres términos, respectivamente. Aquí hay unos ejemplos:
Monomios: [matemática] x ^ 2, -7x ^ 5,4.3x ^ 2t ^ 6z ^ 7 [/ matemática]
Binomios: [matemática] x + y, 2x ^ 2 + 3, 3x ^ 4 + yz ^ 7 [/ matemática]
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Trinomios: [matemática] x + y + z, 2x + 3yz ^ 2 + 5w ^ 9uv ^ 3 [/ matemática]
Con respecto a los binomios y trinomios, una de sus propiedades que se ha estudiado ampliamente son sus respectivas expansiones: la expresión que se produce cuando cualquiera de ellos es llevado a un poder particular.
Considere, por ejemplo, en el caso de los binomios:
[matemáticas] (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x + y) ^ 3 = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + y ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x + y) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3y + 6x ^ 2y ^ 2 + 4x ^ 3y + y ^ 4 [/ matemáticas]
o más generalmente:
[matemáticas] (x + y) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n {n \ elegir k} x ^ {nk} y ^ k [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que los coeficientes en la expansión anterior corresponden al triángulo de Pascal.
En cuanto a la expansión trinomial:
[matemáticas] (x + y + z) ^ n = \ sum_ {i, j, k} \ frac {n!} {i! j! k!} x ^ iy ^ jz ^ k [/ matemáticas]
donde la suma se toma sobre todos los pares ordenados [matemática] (i, j, k) [/ matemática] tal que [matemática] i + j + k = n [/ matemática]
Estos coeficientes corresponden a la pirámide de Pascal.
Estas expansiones tienen numerosas aplicaciones en varios campos diferentes, pero quizás la más significativa es la distribución binomial, que es una distribución de probabilidad importante que denota la probabilidad de obtener una cierta combinación de resultados en experimentos que tienen dos resultados posibles con probabilidades conocidas; Un ejemplo simple es la probabilidad de obtener una combinación particular de cara y cruz después de lanzar una moneda un cierto número de veces. (consulte ¿Cuál es la distribución binomial? para obtener más información).
Del mismo modo, aunque esto ocurre con menos frecuencia, la expansión trinomial se puede aplicar a experimentos que tienen tres resultados posibles con probabilidades conocidas (aunque esto generalmente se conoce como la distribución multinomial, en lugar de una distribución trinomial). Ver ¿Por qué es importante la distribución multinomial? para más información sobre esta distribución y su aplicación