¿Cuáles son algunos ejemplos de problemas matemáticos engañosamente simples?

Me vienen a la mente los “problemas judíos” o los “problemas asesinos”.

En la década de 1970, el Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú, la escuela de matemáticas más prestigiosa de Rusia, en ese momento había estado tratando activamente de evitar que los estudiantes judíos (y otros “indeseables”) se matricularan en el departamento. Uno de los métodos que usaron para hacer esto fue dar a los estudiantes no deseados un conjunto diferente de problemas en su examen oral. Estos problemas fueron diseñados cuidadosamente para tener soluciones elementales (para que el Departamento pudiera evitar escándalos) que eran casi imposibles de encontrar. Cualquier estudiante que no respondiera podría ser rechazado fácilmente, por lo que este sistema era un método efectivo para controlar las admisiones. Este tipo de problemas matemáticos se denominaban informalmente “ataúdes”. “Ataúdes” es la traducción literal del ruso; en inglés, estos problemas a veces se denominan problemas “asesinos”.
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Resultó que no todos los ataúdes tenían soluciones elementales: algunos eran preguntas intencionalmente ambiguas, algunos eran simplemente difíciles, algunos tenían premisas imposibles.

Mi favorito: “Construir (con regla y compás) un cuadrado dado un punto de cada lado”.

Para obtener más detalles, así como ejemplos de problemas y soluciones, consulte esta página.

(Fuente: http://www.tanyakhovanova.com/co …)
(Inicialmente escrito para responder a la resolución de problemas: ¿Cuáles son algunos problemas que son más difíciles de lo que parecen?)

Como otros señalaron, las matemáticas están repletas de problemas “aparentemente simples”. Desde la antigüedad, las personas se dieron cuenta de que lo simple de expresar no es lo mismo de fácil de resolver, y algunos de los problemas más atractivos y tentadores que han dado forma a las matemáticas tienen enunciados cortos, elegantes y soluciones largas y arduas (o ninguna).

Para la mayoría de los matemáticos entrenados, los problemas de teoría de números ya no son “aparentemente simples”: después de haber encontrado el último teorema de Fermat, la conjetura de Goldbach, el problema 3n + 1 y muchos otros problemas (algunos de los cuales se mencionan en otros respuestas) desarrollas un respeto saludable por tales preguntas; de hecho, es más probable que asuma que un problema es muy difícil, incluso cuando no lo es, y no al revés. Ejemplo : demuestre que cada primo> 2 es la diferencia de dos cuadrados. No divulgaré la solución, pero en realidad es muy elemental, y he visto a personas luchar con esto durante días solo porque parece peligrosamente similar a problemas muy difíciles.

Sin embargo, incluso los matemáticos profesionales continúan asombrados por los problemas que realmente parecen ser fáciles o triviales, incluso para su ojo entrenado, solo para descubrir que no lo son. A veces son solo problemas inteligentes, y a veces en realidad están completamente abiertos y nadie tiene idea de cómo abordarlos.

Un ejemplo que viene a la mente es el teorema de Van der Waerden . Surgió una pregunta: si los números naturales se dividen en dos conjuntos, ¿debe uno de esos conjuntos contener progresiones aritméticas arbitrariamente largas? Todos asumieron que debería ser fácil probar o refutar, y por “todos” me refiero a las mentes matemáticas más importantes de la época (la pregunta surgió, y fue ampliamente investigada, en Gotinga alrededor de 1928. Ver “La teoría de las tres perlas de números” de Khintchine para Una cuenta encantadora). De hecho, se demostró que esto era cierto, pero la solución está muy lejos de ser simple. Por lo tanto, afirmo que este es un problema demostrablemente ” aparentemente engañoso”.

Aquí hay uno de la categoría de “problemas inteligentes”: la disposición de los asientos de las personas en su departamento cambia, y resulta que ustedes ahora ocupan más cubículos que antes. Muestre que al menos dos personas deben tener menos compañeros de cubículo que antes de la reorganización. Parece obvio, pero no es tan fácil de probar.

Aquí hay un favorito personal:

1) c es un número real positivo tal que [math] n ^ c [/ math] es un número entero para cada número natural n. ¿Debe ser un número entero?

2) c es un número real positivo tal que [matemática] 2 ^ c, 3 ^ c [/ matemática] y [matemática] 5 ^ c [/ matemática] son ​​enteros. ¿Debe ser un número entero?

3) c es un número real positivo tal que [matemática] 2 ^ c [/ matemática] y [matemática] 3 ^ c [/ matemática] son ​​enteros. ¿Debe ser un número entero?

Parece simple, ¿no?

La pregunta 1) es un problema bastante complicado de grado olímpico. Hay una solución bastante corta y elegante, pero no es un ejercicio fácil.

La pregunta 2) es solucionable pero requiere de la maquinaria más avanzada de las matemáticas del siglo XX.

La pregunta 3) está abierta. Nadie sabe si esto es cierto (probablemente lo sea) y cómo probarlo si es así. Inconcebible.

La proposición P: “existe infinitos primos gemelos” .

El primo gemelo es un número primo que difiere de otro número primo en dos, por ejemplo, el par primo gemelo (41, 43). Algunas veces el término primo gemelo se usa para un par de primos gemelos; un nombre alternativo para esto es primer gemelo o primer par .

La tendencia aparente de los números primos es volverse cada vez más rara por número de unidad como se puede ver en esta figura.
En términos simples, la distancia entre los números primos aumenta a un ritmo logarítmico. Esto da la figura del logaritmo familiar.

Pero incluso dado que la aparición de primos gemelos se postula que son infinitamente numerosos. Como hay primos gemelos, también existen primos primos (separados por 4), primos sexys (separados por 6), etc.

http://en.wikipedia.org/wiki/Col …

Toma cualquier número natural n . Si n es par, divídalo por 2 para obtener n / 2. Si n es impar, multiplíquelo por 3 y agregue 1 para obtener 3n + 1. Repita el proceso indefinidamente. La conjetura es que no importa con qué número comiences, siempre llegarás a 1. [El problema sigue sin resolverse]

http://en.wikipedia.org/wiki/Gol …

La conjetura de Goldbach es uno de los problemas no resueltos más antiguos y mejor conocidos en teoría de números y en todas las matemáticas. Afirma:

Cada entero par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos

primos

Se ha demostrado que la conjetura es correcta hasta 4 × 10 ^ 18 y generalmente se supone que es cierta, pero no existe una prueba matemática a pesar de un esfuerzo considerable.

El último teorema de Fermat:
Pruebalo
[matemáticas] x ^ n + y ^ n = z ^ n [/ matemáticas]
no se cumple para los números naturales x, y, z y cualquier número entero n> 2.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fer …

En una luz ligeramente diferente, voy a presentar un problema que parece simple pero que es indecidible en general. La pregunta general es simple: dado un polinomio arbitrario con variables enteras, ¿tiene una solución?

A veces, es bastante fácil:

[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 29 [/ matemáticas]

Probablemente puedas hacerlo en tu cabeza:

[matemáticas] \ begin {align}
x & = 1 \\
y & = 1 \\
z & = 3 \\
\ end {align}
[/matemáticas]

A veces es más complicado:

[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 30 [/ matemáticas]

¿Puedes encontrar una solución para este? No puedes! Pero otras personas lo hicieron, ¡aunque tardó hasta 1999 !

¿Por qué? Esta es la razón por:

[matemáticas] \ begin {align} x & = -283059965 \\ y & = -2218888517 \\ z & = 2220422932 \\ \ end {align} [/ math]

Si.

¿Y qué hay de este?

[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 33 [/ matemáticas]

Eso sigue siendo un problema abierto .

De hecho, resulta que no hay un algoritmo para resolver este tipo de ecuaciones. Al igual que el (in) famoso problema de detención, esto es indecidible . Los problemas parecen muy simples, pero no solo están sin resolver, ¡son fundamentalmente irresolubles! ¿Cómo es eso de difícil?

Originalmente leí sobre esto en algunas diapositivas que ya no puedo encontrar. Afortunadamente, hay un gran artículo sobre el tema de un profesor de Berkeley (ahora en el MIT): “Indecidible en la teoría de números”.

Conjetura de Goldbach:

Cada entero par mayor que dos se puede expresar como la suma de dos números primos.

Esta es una declaración simple que requiere muy poco conocimiento avanzado para comprender. También es un problema abierto de larga data en la teoría de números (abierto cuando se escribió la respuesta, pero si hay que creer en los resúmenes de seminarios, ya no está abierto).

Se ha verificado numéricamente para enteros extremadamente grandes.

Mi favorito es el cuadrado de cuadrados; ¿puedes completar un cuadrado mágico (3 × 3) de modo que cada número sea un cuadrado (de un entero) y todas las columnas, filas y diagonales sumen el mismo resultado? Lo más cercano que alguien ha llegado a una solución es 7 cuadrados y 2 no cuadrados, y aparentemente solo hay una solución de ese tamaño, o múltiplos enteros. Es un problema divertido enloquecer tu cerebro, y creo que tiene un par de cientos de años.

Una gran lista de conjeturas no resueltas, muchas de las cuales se han mencionado aquí (Goldbach, Twin Primes, etc.) está aquí; http://www.primepuzzles.net/conj …

Aquí hay muchas respuestas con problemas abiertos, y pensé en agregar una que algunos de ustedes podrían resolver, a pesar de que es bastante difícil. Lo vincularía a nivel de olimpiada de principios y mediados. ¡Pero se ve tan fácil!

Demuestre que cualquier pentágono convexo con vértices en los puntos de la red debe tener un punto de red en su interior.

Se solicitó una solución, así que la publicaré:
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¿Estás seguro de que quieres verlo? Aquí hay una pista primero.
Sugerencia : si eres como yo, tu primera inclinación cuando veas “probar que cualquier pentágono convexo …” es probar el Teorema de Pick. Ignora esa inclinación; Es un arenque rojo. En su lugar, intente resolver el siguiente problema más fácil primero:
Dados 5 puntos de red sin tres colineales, demuestre que hay otro punto de red en un segmento de línea que conecta dos de ellos.
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Muy bien, aquí tienes. Este problema es de una muy antigua ronda de poder de ARML (en los días previos a que comenzaran a renombrar todos los términos de la teoría de grafos y pedirle que pruebe los teoremas básicos).
Solución :
Colorea los puntos de la red de la siguiente manera: Un punto de red [matemática] (a, b) [/ matemática] es:
azul si [matemáticas] a, b [/ matemáticas] son ​​ambos pares.
verde si [matemática] a [/ matemática] es par y [matemática] b [/ matemática] es impar.
rojo si [matemática] a [/ matemática] es impar y [matemática] b [/ matemática] es par.
amarillo si [matemática] a, b [/ matemática] son ​​impares.

Afirmamos que entre dos puntos del mismo color, hay otro punto de red de un color diferente. El punto medio debe ser un punto reticular, ya que las distancias [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] entre los dos puntos son pares. Para mostrar que hay un punto de un color diferente, induzca fuertemente en el número de puntos de puntos de red entre ellos, como entre dos puntos del mismo color, debe haber otro punto.

Ahora regrese al pentágono. Por principio de casillero, al menos dos de los vértices tienen el mismo color. Si no son adyacentes, hemos terminado ya que podemos tomar su punto medio. Si lo son, suponga que wlog que son azules y que hay un punto verde en su borde. Luego, si alguno de los otros tres puntos es azul o verde, podemos conectarlos a otro punto azul o verde, y tomar el punto medio. Si solo son rojos y amarillos, deben tener dos puntos vecinos que sean rojos y el último amarillo. Pero luego, entre los dos puntos rojos, hay un punto de un color diferente, y cualquiera que sea ese color, podemos conectarlo a otro de su color y tomar el punto medio, que está dentro del pentágono. Esto completa la prueba.

¡Este es bastante enloquecedor!

Una formulación del Axioma de Elección (AC) dice:

Dados los conjuntos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], si hay una surjection [matemática] f: B \ rightarrow A [/ matemática] entonces hay una inyección [matemática] g: A \ rightarrow B [/ math] tal que [math] f \ circ g = id_ {A} [/ math].

Una declaración similar es el Principio de Partición (PP):

Dados los conjuntos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], si hay una surjection [matemática] f: B \ rightarrow A [/ matemática] entonces hay una inyección [matemática] g: A \ rightarrow B [/ math].

Obviamente AC implica PP. La cuestión de si PP implica AC tiene más de cien años, y aunque ha habido algún progreso, aún no se ha resuelto.

Cuadrando el círculo.

Dibuja un círculo de unidad de diámetro. Ahora, utilizando solo un borde recto y una brújula, dibuje un cuadrado que tenga la misma área que el círculo, en un número finito de pasos.

http://en.wikipedia.org/wiki/Squ…

La conjetura de discrepancia de erdosis dice que, no importa cuánto intente crear una secuencia que se distribuya uniformemente, está condenado al fracaso, ya que siempre habrá subsecuencias que tengan distribuciones desiguales de 1 y -1 para darle cualquier discrepancia que le interese nombre.
Un ejemplo sencillo (y una motivación justa para demostrarlo) será la siguiente subsecuencia del patrón simple [matemáticas] 1, -1, 1,1, -1, -1 [/ matemáticas] [matemáticas], 1,1, 1 -1, -1, -1, 1,1,1,1, -1, -1, -1, -1 [/ matemática]:
Comenzando en el tercer elemento a 1 y con un espaciado d = 2 y longitud 6.
Discrepancia [matemática] 1 -1 + 1 + 1-1 + 1 + 1 = 3> 0 [/ matemática].

Tenga en cuenta que la prueba de la conjetura es un archivo de 13 GB (en caso de que esté motivado de verdad).
[1402.2184] Un ataque SAT en la conjetura de discrepancia de Erdos

La fórmula para el perímetro de una elipse.

Descubrí que podrías calcular el área de formas y el perímetro de las curvas a través del cálculo. El área de círculos y elipses no fue un problema. Circunferencia de un círculo? Sin sudar. No son fórmulas complicadas en absoluto.

Luego intenté encontrar la fórmula del perímetro para una elipse …

Resulta ser una serie infinita bastante complicada. Hay aproximaciones, pero en comparación con las otras fórmulas es sorprendentemente difícil.

Perímetro de elipse

Encuentra x.

Mi problema favorito de cubrir un pozo:

Tiene un pozo cuyo diámetro es [matemática] 1 [/ matemática] m. ¿Cuántas tablas de ancho [matemáticas] 10 [/ matemáticas] cm necesita para cubrirlo?

Está (casi) claro que necesita al menos 10, pero la prueba requiere un hermoso truco.

El teorema del mapa de cuatro colores.

Si pasas 15 minutos haciendo garabatos para tratar de encontrar un mapa que necesite más de cuatro colores, probablemente concluirás que el teorema es obviamente cierto.

Sin embargo, la única prueba conocida implica examinar tantos casos especiales que necesita una computadora para verificarlos a todos.

Teorema de cuatro colores – Wikipedia

Creo que mi respuesta favorita (tal vez porque la topología me traumatizó) es:

Si dibuja en un papel una línea continua que no se cruza en un papel y termina donde comenzó (un bucle continuo sin intersección en el plano), puede identificar un interior y un exterior.

Teorema de la curva de Jordan – Wikipedia