En ZF (C), esto está prohibido, como señala Brian Bi, por el axioma de la fundación (también conocido como el axioma de la regularidad), que establece que la pertenencia a conjuntos es una relación “bien fundada”.
Sin embargo, hay otras teorías de conjuntos que permiten este tipo de cosas, intercambiando el axioma de la fundación por algún axioma de no fundamento (vea la teoría de conjuntos no fundamentada (y / o, si desea más detalles, la conferencia notas de Aczel aquí: http://standish.stanford.edu/pdf…)), o simplemente no tomar una posición al respecto.
Básicamente, en cada teoría de conjuntos con un axioma sin fundamento de interés, puede construir un par de conjuntos mediante la siguiente definición recursiva:
- ¿Cómo escribiría un predicado para afirmar que un conjunto tiene el mismo número de elementos que otro conjunto?
- Dado que a + b = c + d y a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3 + d ^ 3, ¿cómo pruebo que a ^ 2011 + b ^ 2011 = c ^ 2011 + d ^ 2011?
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A = {B}
B = {A, {}}
Tenga en cuenta que, en este caso, B es el conjunto de potencia de A y, por lo tanto, A es el singleton que contiene el conjunto de potencia de A, tal como se desea. [Si hay un único A y B, o más de un par de conjuntos que satisfagan esta definición, depende del axioma particular de no fundamento]
No hay paradoja en nada de esto; Estas teorías de conjuntos antifundacionales son bi-interpretables con ZF (C) y, por lo tanto, son coherentes con él. De hecho, en términos del uso de la teoría de conjuntos como “fundamentos” para el resto de las matemáticas en el sentido habitual, no hay diferencia; Tanto la teoría de conjuntos fundacional como antifundacional producirá categorías equivalentes de conjuntos y funciones entre ellos.
La distinción entre la teoría de conjuntos no bien fundada y bien fundada radica solo en si uno elige usar el término “conjunto” para describir todos los gráficos puntiagudos accesibles o simplemente los bien fundados (y la distinción entre los diversos axiomas de anti -fundación es justo en lo que la noción apropiada de equivalencia debería ser para estos “conjuntos”).
[Si en lugar de hacer que A sea el singleton que contiene el conjunto de poder de A, deberías intentar que A sea directamente igual que el conjunto de poder de A, ten en cuenta que las cosas serían más difíciles … Entonces podríamos pensar en A como todo un universo de ingenua teoría de conjuntos en sí misma, y lleva a cabo la paradoja de Russell en ese contexto (construyendo el conjunto paradójico de aquellos elementos de A que no se contienen a sí mismos). Lo único que podría salvarnos de la inconsistencia sería carecer del axioma de la separación en toda su fuerza ordinaria, por lo que no sería necesario que este conjunto paradójico exista.]
