¿Cuál es la conexión entre la teoría de juegos y las matemáticas abstractas?

La teoría de juegos es en sí misma una rama de las matemáticas y, como tal, es inherentemente abstracta. Toda matemática es una especie de abstracción, incluso suma y resta. Incluso algo tan básico como contar es una abstracción. Cualquier tema matemático, incluida la teoría de juegos, puede examinarse como una idea puramente abstracta, sin referencia a los problemas del mundo real que la motivaron originalmente. El cálculo se desarrolló para estudiar el movimiento, pero existe independientemente de la física.

Desprovista de su interpretación del mundo real, la teoría de juegos se definiría como el estudio de una clase particular de conjuntos ordenados, cuyos elementos son otros conjuntos y ciertas funciones entre ellos. Sería incómodo discutir estos objetos sin alguna referencia al propósito original de construirlos (por lo que no estoy haciendo ningún intento de establecer las definiciones completas y exactas aquí), pero podría hacerse sin ningún cambio en la matemática. propiedades.

Esta es mi respuesta no experta. Una de las grandes conexiones es el uso de teoremas de punto fijo para demostrar que existen equilibrios de Nash. Por ejemplo, deje que [math] S [/ math] sea un espacio estratégico. Los elementos de [matemáticas] S [/ matemáticas] son ​​tuplas, que describen la estrategia de cada jugador (por lo tanto, para n jugadores, una n-tupla). Dado [math] s \ en S, \ psi (s) [/ math] es la tupla que describe la respuesta óptima de cada jugador a s. En los equilibrios de Nash, todos están más o menos satisfechos con sus decisiones, y matemáticamente, esto se afirma como [matemáticas] \ psi (s) = s [/ matemáticas]. En otras palabras, s es un punto fijo de [math] \ psi [/ math].

En general, s no necesita ser una sola tupla, puede ser un conjunto de tuplas, y [math] \ psi [/ math] también puede ser un valor establecido. Por esta razón, se necesita un teorema de punto fijo para funciones con valores establecidos. Este es el teorema del punto fijo de Kakutani, que da condiciones generales bajo las cuales existe un punto fijo de [math] \ psi [/ math]. Es una generalización del teorema del punto fijo de Brouwer, que es un resultado clásico en topología, y es un escaparate de homología y métodos algebraicos en topología.