No. Las fórmulas más eficientes (que no lo son en absoluto) se superan simplemente contando los primeros 100 primos. Al buscar el cebado número diez millones, quizás, las fórmulas y métodos como el tamizado se vuelven más rápidos. Sin embargo, para números primos relativamente pequeños, es más rápido contar desde [math] 0 [/ math].
Si simplemente desea una aproximación, [math] n \ ln n [/ math] está bastante cerca del número primo [math] n [/ math]. Incluso tenemos un límite superior e inferior [1] [2] [3] para nuestro primo cuando [matemáticas] n [/ matemáticas] es mayor que 6, es decir
[matemáticas] \ ln n + (\ ln \ ln (n) −1) <\ frac {p_n} {n} <\ ln n + \ ln \ ln n [/ matemáticas]
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donde [math] p_n [/ math] es el [math] n [/ math] th número primo.
Conectando n en nuestros límites, obtenemos
[matemáticas] \ ln 100 + (\ ln \ ln 100 -1) <\ frac {p_ {100}} {100} <\ ln 100+ \ ln \ ln 100 [/ matemáticas]
que es igual a
[matemáticas] 513 <p_ {100} <614 [/ matemáticas]
Como [math] p_ {100} [/ math] es igual a [math] 541 [/ math], la estimación funciona; El problema, por supuesto, es que proporciona un rango de [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] n [/ matemáticas] para [matemáticas] p_n [/ matemáticas], lo que significa que no es muy útil para pequeños [matemáticas] n [/ matemáticas]. A medida que [math] n [/ math] se vuelve enorme, la precisión mejora (ya que [math] \ ln n [/ math] también se vuelve grande).
Notas al pie
[1] Coincidencias para: MR = 1620223
[2] Coincidencias para: MR = 1406794
[3] Teorema de los números primos – Wikipedia
