[matemáticas] f (x) = \ sqrt {\ log (2x-1)} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ text {Let} y = f (x) —– \ boxed 1 [/ math]
[matemáticas] \ implica y = \ sqrt {\ log (2x-1)} [/ matemáticas]
- ¿Cómo se encuentra la longitud de la curva descrita por las ecuaciones paramétricas [matemáticas] x = e ^ t \ sen t [/ matemáticas] y [matemáticas] y = e ^ t \ cos t [/ matemáticas] para [matemáticas] 0 \ le t \ le \ pi [/ math]?
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[matemáticas] \ implica y ^ 2 = \ log (2x-1) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica e ^ {(y ^ 2)} = 2x-1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 2x = e ^ {(y ^ 2)} + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica x = \ dfrac {e ^ {(y ^ 2)} + 1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] De \ boxed1, [/ matemáticas] [matemáticas] x = f ^ {- 1} (y) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica f ^ {- 1} (y) = \ dfrac {e ^ {(y ^ 2)} + 1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ text {Reemplazar y por x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica f ^ {- 1} (x) = \ dfrac {e ^ {(x ^ 2)} + 1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ text {Esto también se puede escribir como,} [/ matemáticas]
[matemáticas] f ^ {- 1} (x) = \ dfrac {e ^ {(| x | ^ 2)} + 1} {2} [/ matemáticas]
Claramente, a medida que [math] | x | [/ math] aumenta, [math] f ^ {- 1} (x) [/ math] aumenta. Entonces los mínimos ocurrirán en [math] x = 0. [/ Math]
[matemáticas] f ^ {- 1} (x) | _ {min} = f ^ {- 1} (0) = \ dfrac {1 + 1} {2} = 1 [/ matemáticas]
Por lo tanto, el rango de [math] f ^ {- 1} (x) [/ math] es [math] [1, \ infty] [/ math]
Método alternativo.
En el caso de una función monotónica, el dominio de [math] f (x) [/ math] es el mismo que el rango de [math] f ^ {- 1} (x) [/ math].
El dominio de [math] f (x) = \ sqrt {\ log (2x-1)} [/ math] es [math] x≥1 [/ math] porque [math] \ log (2x-1) ≥0 [/matemáticas]
[matemáticas] \ implica 2x-1≥1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica x≥1 [/ matemáticas]
