Como observa, cualquier espacio métrico para el que se encuentre la “propiedad Heine-Borel” está completo.
Un espacio métrico (y, por lo tanto, un subconjunto de un espacio métrico) es compacto si y solo si está completo y totalmente limitado , donde un conjunto está totalmente limitado si por cada [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática] puede cubrirse por finito muchas bolas de radio [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas]. En un espacio completo, también se completa un subconjunto cerrado. Por lo tanto, el teorema de Heine-Borel para un espacio métrico equivale a la afirmación de que cada subconjunto acotado está totalmente acotado.
Si bien la noción de “dimensión finita” es difícil de hacer rigurosa para un espacio métrico (después de todo, en espacios métricos puede ser bastante patológico en general), un sustituto razonable para una definición de dimensión finita sería precisamente esta conclusión, que limita Los juegos están totalmente delimitados. Intuitivamente, en grandes dimensiones, las bolas pequeñas tienen un volumen muy pequeño (a medida que el volumen crece como el radio a la potencia de la dimensión) y se necesita una gran cantidad de ellas para cubrir incluso la bola de la unidad. En “dimensiones infinitas”, como la bola de la unidad en un espacio de Banach de dimensiones infinitas, no es posible cubrir la bola de la unidad con un número finito de bolas de radio suficientemente pequeño.
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Para un ejemplo estúpido de cómo puede romperse su intuición normal de “dimensionalidad finita”, si le da a los enteros la métrica discreta, entonces están completos y delimitados, pero obviamente no están totalmente delimitados (y por lo tanto no son compactos).
