Consulte la respuesta de Amitabha Tripathi a ¿Cómo resuelvo [matemáticas] x ^ 2-8y ^ 2 = 1 [/ matemáticas] donde, [matemáticas] x, y \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas] usando la fracción continua de [matemáticas] \ sqrt {8} [/ matemáticas]?
La unidad fundamental para las ecuaciones de Pell.
[matemáticas] x ^ 2–5y ^ 2 = \ pm 1 [/ matemáticas]
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es [matemática] {\ epsilon} _5 = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} [/ matemática]. Puede resolver esto a partir de mi publicación anterior mostrando primero que la expansión de fracción continua para [math] \ sqrt {5} = \ big [2; \ overline {4} \ big] [/ math]. [math] ([/ math] Más generalmente, [math] \ sqrt {n ^ 2 + 1} = \ big [n; \ overline {2n} \ big] [/ math]. [math]) [/ math]
Por lo tanto, todas las soluciones en pares enteros positivos [matemática] (x, y) [/ matemática] a [matemática] x ^ 2–5y ^ 2 = -1 [/ matemática] se obtienen al igualar partes racionales e irracionales de
[matemática] x + \ sqrt {5} y = \ left (\ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n [/ math], [math] n [/ math] impar y positivo .
Como [math] (2,1) [/ math] es una solución para [math] x ^ 2–5y ^ 2 = -1 [/ math], se deduce que
[matemáticas] 2+ \ sqrt {5} = \ left (\ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n [/ math]
para algún número entero impar y positivo [matemáticas] n [/ matemáticas].
Como [matemáticas] \ phi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ aprox 1.6 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2+ \ sqrt {5} \ aproximadamente 4.2 [/ matemáticas], vemos que [matemáticas] \ phi <2+ \ sqrt {5} <{\ phi} ^ 5 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] 2+ \ sqrt {5} [/ math] debe ser igual a [math] {\ phi} ^ 3 [/ math], y así
[matemáticas] \ sqrt [3] {2+ \ sqrt {5}} = \ phi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ ldots (1) [/ matemáticas]
El hecho de que [math] \ phi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} [/ math] está íntimamente conectado con la secuencia de Fibonacci sugiere otra forma de manejar el problema de mostrar por qué eqn. [Math] ( 1) [/ math] funciona.
Comenzando con el hecho de que [matemáticas] {\ phi} ^ 2 = \ phi + 1 [/ matemáticas], podemos mostrar fácilmente que
[math] {\ phi} ^ n = F_n \ cdot \ phi + F_ {n-1} [/ math] para [math] n \ ge 2 \ ldots (2) [/ math]
El caso base [matemática] n = 2 [/ matemática] se deduce de [matemática] F_1 = F_2 = 1 [/ matemática]. Suponiendo la ecuación [math] (2) [/ math],
[matemáticas] {\ phi} ^ {n + 1} = \ phi \ cdot {\ phi} ^ n = \ big (F_n \ cdot {\ phi} ^ 2 \ big) + \ big (F_ {n-1} \ cdot \ phi \ big) [/ math]
[matemáticas] = F_n \ big (\ phi + 1 \ big) + F_ {n-1} \ cdot \ phi [/ math]
[matemáticas] = F_ {n + 1} \ cdot \ phi + F_n [/ matemáticas],
demostrando la identidad en eqn. [matemáticas] (2) [/ matemáticas] por inducción matemática .
Así
[matemáticas] {\ phi} ^ 3 = F_3 \ cdot \ phi + F_2 = 2 \ phi + 1 = 2+ \ sqrt {5} [/ matemáticas],
para que [math] \ sqrt [3] {2+ \ sqrt {5}} = \ phi, [/ math] como se obtuvo anteriormente en la ecuación. [matemáticas] (1) [/ matemáticas] [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
