Hay una propiedad en Laplace Transform que se ocupa del cambio en el dominio del tiempo. Supongamos que queremos encontrar la transformada de Laplace de la función f (t) , luego se define como;
[math] \ mathfrak {L} (f (t)) = \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} dt [/ math]
Ahora, si introduce un cambio de tiempo de [math] t_o [/ math] en la función, entonces la transformación de Laplace se convierte en;
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[math] \ mathfrak {L} (f (t-t_o)) = \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t-t_o) e ^ {- st} dt [/ math]
Supongamos que [math] t – t_o = x [/ math], entonces eso implica que,
[math] \ mathfrak {L} (f (t-t_o)) = \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- s (x + t_o)} dx [/ math ]
Ahora, eso nos da,
[matemática] \ mathfrak {L} (f (t-t_o)) = e ^ {- st_o} \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- sx} dx [/ matemáticas]
Y eso es,
[math] \ mathfrak {L} (f (t-t_o)) = e ^ {- st_o} \ times \ mathfrak {L} (f (t)) [/ math]
Entonces, ahora volvamos a su pregunta. Si tenemos [matemáticas] f (t) = cos (t) [/ matemáticas], entonces su pregunta tiene la función [matemáticas] g (t) = f (t-3) [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] \ mathfrak {L} (cos (t-3)) = e ^ {- 3s} \ times \ mathfrak {L} (cos (t)) [/ math] —————— eqn 1
Sabemos que [math] \ mathfrak {L} (cos (t)) = \ frac {1} {s ^ {2} + 1} [/ math]
Por lo tanto, para obtener la respuesta a su pregunta, simplemente sustituya el resultado anterior en la ecuación 1.
Por lo tanto,
[math] \ mathfrak {L} (cos (t-3)) = e ^ {- 3s} \ times \ frac {1} {s ^ {2} + 1} [/ math]
¡¡Salud!!
