Los matemáticos no toleran la paradoja. Si ocurre, como ocurrió genuinamente en el descubrimiento de la paradoja de Russell, entonces la paradoja se elimina reestructurando los axiomas si es posible, o descartando toda la teoría en el peor de los casos. Russell realmente encontró un error en el trabajo de Frege, pero la “paradoja” se corrigió desarrollando axiomas precisos que describían lo que se entiende por conjunto.
Hay algunas cosas que se llaman paradojas que no son realmente paradojas desde un punto de vista lógico. Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski, que desafía completamente el sentido común, pero que lógicamente no es problemático. La “paradoja” es que una esfera se puede descomponer y volver a montar de tal manera que se formen muchas otras esferas igualmente grandes. La paradoja es en realidad una consecuencia del Axioma de Elección, que puedes no creer si crees que el teorema de BT es desagradable. Pero la derivación lógica producida por Banach y Tarski es correcta, y desde un punto de vista matemático no hay ninguna paradoja, solo un dudoso axioma.
Otra llamada paradoja es la paradoja de Berry, que parece ser de carácter matemático, pero que de hecho es paradójica porque no está suficientemente formalizada.
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En esta respuesta, podría haber sido demasiado literal si realmente estuviera interesado en la mayor conjetura insoluble (no es una paradoja). En este caso, muchas personas dirían que las buenas respuestas son la Hipótesis Continua, o la consistencia de los axiomas de ZFC. Se cree que ambos hechos son ciertos, pero en cierto sentido son incognoscibles o insolubles.
