Cómo encontrar la suma de series [matemática] \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {4n ^ 2-1} [/ math]

1 / (4n ^ 2-1)

= 0.5 (1 – (- 1) + 2n-2n) / ((2n + 1) (2n-1)) = 0.5 (2n + 1- (2n-1)) / ((2n + 1) (2n- 1)) = 0.5 / (2n-1) -0.5 / (2n + 1)

Para la suma podemos decir: 0.5 / 1-0.5 / 3 + 0.5 / 3-0.5 / 5 + 0.5 / 5 + …

Todos los términos, excepto el primero, se cancelarán mutuamente. Por lo tanto, podemos decir que la respuesta es 0.5 / 1 = 0.5 o 1/2

Puede escribir esto como la diferencia de dos sumas [matemáticas] \ frac {1} {4n ^ 2-1} = \ frac {1/2} {2n-1} – \ frac {1/2} {2n + 1 }. [/ math] Pero ahora observe que los términos de la primera suma coinciden con los términos de la segunda. Por ejemplo, n = 2 para el primer término es igual a n = 1 del segundo, n = 3 del primero, igual que n = 2 del segundo, etc. Entonces todos se cancelan excepto el primero de la primera suma , que es 1/2.

Es un problema bastante simple. Solo divide el enésimo término en fracciones parciales como esa.

1 / (4n * n-1) = 1 / (2n-1) (2n + 1) = 1/2 [1 / (2n-1) -1 / (2n + 1)]

Entonces la suma se vería como …

1/2 [1-1 / 3 + 1 / 3-1 / 5 ……… .. + 1 / (2n-1) -1 / (2n + 1) ……… .. hasta el infinito.

Eventualmente, todos los términos se cancelarían, dejando la suma = 1/2.

[matemáticas] \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {4n ^ 2-1} = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} { (2n-1) (2n + 1)} = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2n-1} – \ frac {1 } {2n + 1}) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {2} (1- \ frac {1} {2n + 1}) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]