Hay dos razones básicas por las que los cuadrados ocurren mucho en física matemática.
Uno comienza con el teorema de Pitágoras: [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]. Este es un teorema que describe distancias; Crea una métrica. Si tiene coordenadas rectangulares (cartesianas) para dos ubicaciones, el teorema de Pitágoras proporciona una manera de encontrar la distancia entre esas ubicaciones.
Cabe señalar que este teorema solo es válido para un espacio plano, un espacio euclidiano, donde solo existe una línea paralela a una línea dada a través de algún punto fuera de esa línea original.
Pero incluso en un espacio curvo, no euclidiano, su métrica, su fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos, comienza con el Teorema de Pitágoras, agregando funciones de las coordenadas a los cuadrados originales de las diferencias entre las coordenadas. Puede ver esto si considera moverse hacia el norte o hacia el sur, donde cambia la latitud, y contrasta esto con moverse hacia el este o el oeste, donde cambia la longitud. Independientemente de dónde se encuentre en el mundo (para una aproximación bastante buena), una distancia de 1 grado de latitud es siempre la misma, aproximadamente 70 millas. Pero una distancia de un grado de longitud varía con la latitud. Solo en el ecuador es esa distancia 70 millas; a 60 grados norte (o sur) es la mitad de esa distancia, aproximadamente 35 millas.
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El segundo comienza con el hecho de que vivimos en un espacio tridimensional, razonablemente plano. Imagine estar en un área muy oscura con una lámpara que irradia luz en todas las direcciones. Suponga que está a 1 pie (o 1 metro) de esa luz. Su luz llena una esfera de radio de 1 pie (o metro). El área de superficie de una esfera es [matemática] A = 4 \ pi * r ^ 2 [/ matemática]. Debería ser bastante obvio que la intensidad de la luz de esa lámpara varía según el área de la esfera con un radio que es la distancia de la lámpara. Por lo tanto, si se mueve de 1 pie de distancia a 2 pies de distancia, la intensidad de la luz se reducirá al cuadrado de 2, a un cuarto de la intensidad a 1 pie. Decimos que la intensidad de la luz de esta lámpara aislada varía según el cuadrado inverso de la distancia de esa lámpara.
Pero esto funciona para todo tipo de fenómenos físicos. La intensidad del campo eléctrico creado por una carga aislada varía según el cuadrado inverso de la distancia desde esa carga. Y en la aproximación newtoniana de la gravedad, el campo gravitacional de una masa aislada varía como el cuadrado inverso de la distancia desde esa masa.
