tl: dr
Las ecuaciones de Navier-Stokes son tan buenas como la ecuación constitutiva utilizada para describir el fluido. Al elegir una ecuación constitutiva, (como que el estrés es directamente proporcional a la tasa de tensión), se limita a los fluidos que están bien descritos por esa ecuación constitutiva.
La respuesta más larga:
Para comprender las limitaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes, creo que primero debe comprender de dónde provienen y qué suposiciones se usan al derivarlas. También asumiré en este punto que el lector está acostumbrado a la nomenclatura de las ecuaciones de Navier-Stokes. Las letras en negrita indican vectores o tensores.
Las ecuaciones de Navier-Stokes son un caso especial de conservación del momento. En el sentido más básico, se derivan de la segunda ley de Newton,
[math] \ mathbf {F} = m \ mathbf {a} [/ math]
que para sistemas no relativistas es bastante inviolable.
La primera suposición que debemos hacer es que el fluido es continuo. Obviamente, esto está mal, ya que todo está hecho de partículas discretas, pero para cualquier cosa lo suficientemente grande (piense en cientos de nanómetros y más), es una suposición bastante buena (la turbulencia tiene un problema aquí, pero volveré sobre ello). Al suponer esto, podemos transformar la segunda ley de Newton en la ecuación de momento de Cauchy:
[matemáticas] \ rho \ bigg (\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t} + \ mathbf {u} \ nabla \ mathbf {u} \ bigg) = \ nabla \ cdot \ mathbf {\ sigma } + \ mathbf {F} _ \ text {b} [/ math]
Ahora esto puede no parecerse a la segunda ley de Newton a primera vista, pero todos los componentes están ahí. El lado izquierdo es la parte de aceleración de la masa por masa (teniendo en cuenta la aceleración convectiva http://en.wikipedia.org/wiki/Cau …) y el lado derecho es la suma de todas las fuerzas en un punto ( la divergencia del tensor de estrés [math] \ nabla \ cdot \ mathbf {\ sigma} [/ math] cómo está cambiando el campo de estrés y el término [math] \ mathbf {F} _ \ text {b} [/ math] es la suma de las fuerzas del cuerpo como la gravedad). En este punto, todo lo que hemos hecho es hacer una suposición y un poco de matemática. Nota: También estoy asumiendo un marco de referencia inercial en estos momentos para simplificar la ecuación. He descuidado los términos para un marco de referencia acelerado, pero se pueden agregar fácilmente.
La clave de las ecuaciones de Navier-Stokes es que asumen una ecuación constitutiva. Una ecuación constitutiva relaciona dos cantidades (en este caso, fuerza y velocidad) para un material dado y puede ser cualquier cantidad de cosas. Las ecuaciones constitutivas más generales involucrarán tensores de cuarto orden que relacionan las fuerzas con los tensores de deformación (desplazamiento) y la tasa de deformación (gradiente de velocidad), pero en general es un poco difícil de manejar para uso general. También puede leer sobre otras ecuaciones constitutivas, incluidas las utilizadas para las ecuaciones de Navier-Stokes (la versión incompresible está arriba y simplemente asume [math] \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0 [/ math]).
Para repetir: las ecuaciones de Navier-Stokes son tan buenas como la ecuación constitutiva utilizada en ellas. Este es un punto importante que mucha gente olvida. Al usar la forma “estándar” de las ecuaciones de Navier-Stokes, está asumiendo una ecuación constitutiva y puede o no ser buena.
La turbulencia es un asunto completamente diferente. Wener Heisenberg dijo una vez: “Cuando me encuentre con Dios, le haré dos preguntas: ¿por qué la relatividad? ¿Y por qué la turbulencia? Realmente creo que tendrá una respuesta para la primera”. Todavía no entendemos realmente la turbulencia, pero se deriva del hecho de que los fluidos no son continuos y, en algún nivel, se rigen por el comportamiento cuántico. Este comportamiento conduce a la imprevisibilidad que se magnifica por la no linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes y se presenta como una turbulencia en el flujo. El inicio de la turbulencia corresponde al punto en el que estos términos no lineales comienzan a ser más dominantes en las matemáticas (el número de Reynolds nos informa sobre el dominio de los términos no lineales).
Pero la mayoría de las deficiencias de las ecuaciones de Navier-Stokes se pueden rastrear ya sea a la suposición continua o a la elección del modelo constitutivo (o a la relatividad si uno está mirando plasmas pero eso puede corregirse). A pesar de todo esto, todavía funcionan bastante bien para una amplia gama de aplicaciones y pueden proporcionar buenas aproximaciones incluso cuando no son del todo precisos.
