¿Pueden los expertos en matemáticas definir el número?

No soy un “experto en matemáticas”, pero aquí está mi opinión: en matemáticas, un número es un intento de expresar de manera abstracta algo que se entiende u observa intuitivamente tanto individual como colectivamente.

Por ejemplo, si tengo tres naranjas sentadas en mi mesa de café, siento una sensación innata de “trinidad”, y este sentido es muy diferente en mi mente que una situación en la que tengo, digamos, 3.000 naranjas apiladas en mi sala de estar.

Como estas situaciones parecen tan diferentes, elijo diferenciarlas. Entonces, si quiero representar “trinidad”, generalmente uso la palabra “tres” o el pictograma “3” porque crecí en los Estados Unidos y estos son convencionales. Esto es particularmente útil ya que, si tuviera un observador imparcial que viniera a mi casa y verificara el estado de las naranjas en mi mesa de café, con toda probabilidad estarían de acuerdo con mi idea de “tres-ness” versus “tres mil- ness “, y elige expresarlo de la misma manera. Por lo tanto, los números escritos o hablados son una herramienta útil para expresar o modelar un fenómeno humano, aparentemente universal. Desafortunadamente, si existen números como tres o tres mil realmente está más allá de mi conocimiento, ya que soy incluso menos experto en filosofía que experto en matemáticas.

No. Históricamente, el concepto de número creció una y otra vez desde el conjunto de enteros positivos mayores que 1, a través de los conjuntos de números negativos y racionales y reales, hasta números complejos, números hipercomplejos, infinitesimales, dominios de integridad y el borde es el estrellado. cielo.

Hoy en día, la palabra “número” no tiene un significado exacto. Todas las respuestas anteriores son erróneas, los que respondieron identificaron erróneamente “números” con “números naturales” (por lo que los axiomas de Peano como respuesta son totalmente incompletos).

Depende de nuestras tradiciones y convenciones prácticas temporales qué cosas podemos o queremos llamar como “números”.

Defina un sistema axiomático apropiado, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (con o sin el Axioma de elección) y luego use una definición teórica de números naturales. Eso es lo que es un número.

O es una forma de definir qué son los números y cómo funciona la aritmética.

También se podría comenzar con el cálculo Lambda y usar la codificación de la Iglesia para definir los números de la Iglesia, y la aritmética se puede derivar a través de este “lenguaje” ligeramente diferente, pero trabajando de manera equivalente.

En última instancia, “número” se trata simplemente de abstracción y conteo.

Ningún experto en matemáticas puede decirte eso.

La razón de esto es que el término “número” es de naturaleza histórica y muy ambiguo.

Por ejemplo, llamamos a [math] \ mathbb {C} [/ math] los números complejos, pero los cuaterniones no se llaman así.

Nadie se atrevería a llamar a números de matrices cuadradas, pero aparte de su falta de conmutatividad se comportan igual.

Lo que sí tenemos son varias estructuras bien definidas que llevan el término “números de blub bla”. Son importantes, pero no son las únicas estructuras comunes.

Aquí hay una lista de los más comunes:

• El monoide (medio grupo) de números naturales [math] \ mathbb {N} [/ math]
• El anillo de los enteros [math] \ mathbb {Z} [/ math]
• El campo números racionales [math] \ mathbb {Q} [/ math]
• El campo algebraicamente completo de números algebraicos [math] \ mathbb {A} [/ math]
• El campo completo ordenado de números reales [math] \ mathbb {R} [/ math]
• Los números irracionales [math] \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q} [/ math]
• Los números trascendentales [math] \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {A} [/ math]
• El campo algebraicamente completo y completo de números complejos [math] \ mathbb {C} [/ math]
• El anillo de los enteros gaussianos [math] \ mathbb {Z} [i] [/ math]

Entonces, si quieres hablar sobre números, lo más probable es que quieras hablar sobre una de estas estructuras.

Se vuelve bastante difícil dar una definición precisa de número. El que se usa comúnmente para los números enteros positivos son los axiomas de Peano. Estos datan de 1889 y generalmente no se enseñan hasta la universidad, por lo que da una pista de la dificultad.

Esta definición depende de la notación de un conjunto, que es una colección de objetos, por lo que {Bill, Ted} es un conjunto que contiene los objetos “Bill” y el objeto “Ted” y el {Rita, Sue} es un conjunto que contiene el objetos “Rita” y “Sue”. Podemos decir que dos conjuntos son iguales si podemos unir los elementos en cada conjunto de 1 a 1. Entonces, {Bill, Ted} es lo mismo que {Rita, Sue}, ya que podemos unir a Bill con Rita y Ted a Sue. Sin embargo, {Bob, Carol, Ted, Alice} no coincide con {Rita, Sue} ya que podemos unir a Bob con Rita, Carol a Sue, pero no queda nadie para igualar a Ted y Alice.

Ahora podemos definir nuestros números 0 se define como la colección de todos los conjuntos posibles que coincide con el conjunto sin elementos {}, 1 se define como la colección de todos los conjuntos posibles que coinciden con el conjunto {Amélie}, 2 se define como los conjuntos cuál coincide con {Bill, Ted}, 3 son conjuntos que coinciden con {Rita, Sue, Bob}.

Esta definición se ajusta a nuestra intuición. Un conjunto de tres ovejas coincide con un conjunto de tres manzanas y un conjunto de tres piedras. Todos tienen la misma propiedad de trinidad que los axiomas de Peano precisan.