Debe probar que: [math] \ def \ gcd {\ operatorname {gcd}} \ def \ min {\ operatorname {min}} \ def \ pProd {\ prod_ {p \ in \ mathbb P}} \ def \ divide {\ mathrel {\ big |}} [/ math]
- [math] \ pProd p ^ {\ min (v_n (p), v_m (p))} [/ math] divide tanto [math] n [/ math] como [math] m [/ math].
- Que cualquier otra [matemática] d [/ matemática] que divida tanto [matemática] m [/ matemática] como [matemática] n [/ matemática], entonces [matemática] d [/ matemática] divide [matemática] \ pProd p ^ { \ min (v_n (p), v_m (p))} [/ math].
Supongo, a partir de su notación que [matemáticas] n = \ pProd p ^ {v_n (p)} [/ matemáticas], donde [matemáticas] v_n (p) [/ matemáticas] es el poder de [matemáticas] p [/ matemáticas ] en la descomposición del factor primo de [matemáticas] n [/ matemáticas].
Dado que [math] \ min (v_n (p), v_m (p)) \ le v_n (p) [/ math], luego [math] p ^ {\ min (v_n (p), v_m (p))} \ divide p ^ {v_n (p)} [/ matemática], donde [matemática] a \ divide b [/ matemática] significa que [matemática] a [/ matemática] divide [matemática] b [/ matemática]. Luego:
- ¿Cuál es la idea detrás de la esfera de Riemann en el análisis complejo y por qué es útil?
- ¿Cómo se puede probar que [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ sqrt {x ^ 2-x + 1} - \ left \ lfloor \ sqrt {x ^ 2-x + 1} \ right \ rfloor = 1 / 2 [/ matemáticas]?
- ¿Se pueden resolver todos los problemas matemáticos?
- ¿Por qué las parábolas no tienen asíntota?
- ¿Es la mitad de dos más dos igual a dos o tres?
\ begin {align}
& \ forall p \ in \ mathbb P, & \ min (v_n (p), v_m (p)) y \ le v_n (p) \\
& \ forall p \ in \ mathbb P, & p ^ {\ min (v_n (p), v_m (p))} & \ divide p ^ {v_n (p)} \\
&& \ pProd p ^ {\ min (v_n (p), v_m (p))} & \ divides \ pProd p ^ {v_n (p)} \\
&& \ pProd p ^ {\ min (v_n (p), v_m (p))} & \ divide n \\
& \ forall p \ in \ mathbb P, & \ min (v_n (p), v_m (p)) y \ le v_m (p) \\
&& \ pProd p ^ {\ min (v_n (p), v_m (p))} & \ divide m. \\
\ end {align}
Ahora, deje que [math] d = \ pProd p ^ {v_d (p)} [/ math] divida tanto [math] n [/ math] como [math] m [/ math]. Luego
\ begin {align}
&& d & \ divide n \\
& \ forall e \ in \ mathbb Z, & e \ divide d & \ implica e \ divide n \\\
& \ forall p \ in \ mathbb P, & p ^ {v_d (p)} & \ divide n \\
& \ forall p \ in \ mathbb P, & v_d (p) & \ le v_n (p). && (1) \\
&& d & \ divide m \\
& \ forall p \ in \ mathbb P, & v_d (p) & \ le v_m (p). && (2) \\
& \ forall p \ in \ mathbb P, & v_d (p) & \ le \ min (v_n (p), v_m (p)) && \ text {from} (1), (2) \\
& \ forall p \ in \ mathbb P, & p ^ {v_d (p)} & \ divide p ^ {\ min (v_n (p), v_m (p))} \\
&& \ pProd p ^ {v_d (p)} & \ divide \ pProd p ^ {\ min (v_n (p), v_m (p))} \\
&& d & \ divide \ pProd p ^ {\ min (v_n (p), v_m (p))}
\ end {align}
Por lo tanto, [math] \ gcd (m, n) = \ pProd p ^ {\ min (v_n (p), v_m (p))} [/ math].