Las raíces complejas del cubo de la unidad son _____ entre sí. ¿Sería cuadrado o recíproco? Mi amigo hizo un ‘cuadrado’ y di un círculo ‘recíproco’ en nuestro examen.

Las complejas raíces cúbicas de la unidad son

[matemáticas] w_ + = e ^ {2 \ pi i / 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] w_- = e ^ {- 2 \ pi i / 3} [/ matemáticas]

Estos están en el círculo de la unidad, en [matemáticas] + 120 ^ \ circ [/ matemáticas] para [matemáticas] w _ + [/ matemáticas], y [matemáticas] -120 ^ \ circ [/ matemáticas] para [matemáticas] w_- .[/matemáticas]

La verdadera identidad de Euler es [matemáticas] e ^ {2 \ pi i} = 1. [/ matemáticas] Tomando reciprocos o conjugados, [matemáticas] e ^ {- 2 \ pi i} = 1 [/ matemáticas] también. Entonces podemos multiplicar cualquier expresión por [math] e ^ {\ pm 2 \ pi i} [/ math] sin cambiar su valor. Debido a la fórmula de Euler ([matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ matemáticas]), esa es solo otra forma de decir que podemos sumar o restar [matemáticas] 2 \ pi [ / math] desde un ángulo sin cambiar sus funciones trigonométricas. Es un ensayo largo que nos permite escribir lo bastante obvio.

[matemáticas] w_ + = e ^ {2 \ pi i / 3} = e ^ {- 4 \ pi i / 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] w_- = e ^ {- 2 \ pi i / 3} = e ^ {4 \ pi i / 3} [/ matemáticas]

[math] w _ + [/ math] y [math] w _- [/ math] son ​​cuadrados entre sí:

[matemáticas] w_ + ^ 2 = (e ^ {2 \ pi i / 3}) ^ 2 = e ^ {4 \ pi i / 3} = w _- [/ matemáticas]

[matemáticas] w_- ^ 2 = (e ^ {- 2 \ pi i / 3}) ^ 2 = e ^ {- 4 \ pi i / 3} = w _ + [/ matemáticas]

También son recíprocos entre sí. Esto se puede ver por el factor -1 en el exponente de [math] w _- [/ math], o simplemente multiplicándolos:

[matemáticas] w_ + w_- = e ^ {2 \ pi i / 3} e ^ {- 2 \ pi i / 3} = e ^ {0} = 1 [/ matemáticas]

También son conjugados entre sí, como si sustituyes [math] -i [/ math] por [math] i [/ math] en uno obtienes el otro. Supongo que los conjugados fueron la elección c.

Queremos la opción d, todo lo anterior.

El cuadrado es el número correcto. Las raíces cúbicas de la unidad son:

[matemáticas] 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ frac {4i \ pi} {3}} [/ matemáticas]

Como puede ver, el tercero es el cuadrado del segundo (estas dos son las raíces complejas).

Esta es una buena pregunta. Las raíces complejas de la unidad son [matemáticas] – \ frac12 + \ frac {\ sqrt3} {2} i [/ matemáticas] y [matemáticas] – \ frac12- \ frac {\ sqrt3} {2} i. [/ Matemáticas] Si si los multiplicas, obtienes 1, por lo que puedes decir que son recíprocos entre sí. Si cuadras uno de ellos, obtienes el otro para que sean cuadrados el uno del otro. Tenga en cuenta que también son los conjugados complejos entre sí. Entonces la respuesta correcta fue probablemente “todo lo anterior”.

Ambos son correctos.