Parece que hay un error en la declaración del problema. En mi humilde opinión se aplican las siguientes correcciones:
- [matemáticas] r = – \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]
- [matemáticas] r \ cos {d} = b [/ matemáticas]
- [matemáticas] r \ sin {d} = -a [/ matemáticas]
Para probar la proposición, usaremos la inducción. Diferenciar [matemáticas] e ^ {- ax} \ cos (bx + c) [/ matemáticas] una vez produce lo siguiente:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ {e ^ {- ax} \ cos (bx + c) \} = -ae ^ {- ax} \ cos ( bx + c) – be ^ {- ax} \ sin (bx + c) = -e ^ {- ax} \ {a \ cos (bx + c) + b \ sin (bx + c) \} = – \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} e ^ {- ax} \ {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ cos (bx + c) + \ frac {b} { \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ sin (bx + c) \} = re ^ {- ax} cos (bx + c + d) [/ math]
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Se puede usar el razonamiento inductivo para completar la prueba. Suponiendo que es un problema de tarea, dejaré que el OP demuestre que si la proposición es verdadera para [math] n \ leq r [/ math], eso implica que también es cierto para [math] n = r + 1 [/ matemáticas].
