¿Qué hay de malo en este argumento? En la categoría de grupos cíclicos, hay dos objetos iniciales, [math] \ mathbb {Z} [/ math], y el grupo trivial.

Unicidad.

La parte clave de la definición de un objeto inicial no es la existencia de morfismos sino su singularidad. Los grupos cíclicos no triviales casi siempre * tienen más de un generador. Por ejemplo, el grupo [math] \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} = \ {0,1, -1 \} [/ math] tiene dos generadores. [matemáticas] +1 [/ matemáticas] y [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Eso significa que hay al menos dos morfismos diferentes de [math] \ mathbb {Z} [/ math] en el grupo cíclico de orden 3. Y eso no incluye el morfismo que envía [math] 1 \ mapsto 0 [/ math ]

Más generalmente, [math] \ textrm {Hom} (\ mathbb {Z}, G) = G [/ math] en la categoría de grupos cíclicos (o de grupos abelianos, o incluso en la categoría de todos los grupos). Por el contrario, [math] \ textrm {Hom} (\ textbf {0}, G) = \ textbf {0} [/ math] para el grupo trivial, [math] \ textbf {0} [/ math]. Es la última propiedad la que dice que hay un morfismo único de [math] \ textbf {0} [/ math] a cualquier grupo cíclico, por lo que es un objeto inicial. Y también implica que el objeto inicial no solo es único sino “único hasta el isomorfismo único”, que es una de mis propiedades favoritas de todos los tiempos.

* La única excepción no trivial es el grupo cíclico de orden dos.

El objeto inicial correcto es el grupo trivial. Para que un objeto sea el objeto inicial, debe existir precisamente un morfismo de [matemáticas] I [/ matemáticas] a cualquier otro objeto. Esto no es válido para [math] \ mathbb {Z} [/ math]: generalmente hay al menos dos de estos morfismos:

  1. [matemáticas] n \ mapsto g ^ n [/ matemáticas]
  2. [matemáticas] n \ mapsto e [/ matemáticas]

Esto significa que Z no es un objeto inicial.