Unicidad.
La parte clave de la definición de un objeto inicial no es la existencia de morfismos sino su singularidad. Los grupos cíclicos no triviales casi siempre * tienen más de un generador. Por ejemplo, el grupo [math] \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} = \ {0,1, -1 \} [/ math] tiene dos generadores. [matemáticas] +1 [/ matemáticas] y [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Eso significa que hay al menos dos morfismos diferentes de [math] \ mathbb {Z} [/ math] en el grupo cíclico de orden 3. Y eso no incluye el morfismo que envía [math] 1 \ mapsto 0 [/ math ]
Más generalmente, [math] \ textrm {Hom} (\ mathbb {Z}, G) = G [/ math] en la categoría de grupos cíclicos (o de grupos abelianos, o incluso en la categoría de todos los grupos). Por el contrario, [math] \ textrm {Hom} (\ textbf {0}, G) = \ textbf {0} [/ math] para el grupo trivial, [math] \ textbf {0} [/ math]. Es la última propiedad la que dice que hay un morfismo único de [math] \ textbf {0} [/ math] a cualquier grupo cíclico, por lo que es un objeto inicial. Y también implica que el objeto inicial no solo es único sino “único hasta el isomorfismo único”, que es una de mis propiedades favoritas de todos los tiempos.
- ¿El conjunto Mandelbrot tiene alguna barra de aplicaciones para crear arte fractal?
- ¿Qué es 2 + 2? Mi profesor de matemáticas cree que es 5. Creo que es 2. ¿Quién tiene razón?
- ¿Cuáles son tres enteros consecutivos [matemática] a, b, c [/ matemática] tales que [matemática] 5b = 3 (a + c) +2 [/ matemática]?
- ¿Qué progreso se ha hecho hasta la fecha en el problema de extensión de grupo?
- He reprobado el primer curso de análisis real. ¿Debo cambiar el curso de pregrado?
* La única excepción no trivial es el grupo cíclico de orden dos.