Mía. Voy a tener que regresar y encontrar todas esas respuestas de Quora donde estoy expresando una gran confianza en que la HR es verdadera, actualizarlas y retraerlas mansamente, explicando que realmente pensé y quién podría haberlo sabido, y la evidencia fue realmente convincente, y tenga la seguridad de que nunca más predeciré el valor de verdad de un problema abierto.
Más en serio, no creo que “retroceder” sea el término correcto para el impacto en el trabajo de las personas que (a diferencia de mí) son matemáticos de investigación reales.
Sí, muchos matemáticos han estudiado las consecuencias de la hipótesis de Riemann y han publicado artículos en los que se prueban ciertas afirmaciones bajo el supuesto de que RH es cierta. Esos resultados son interesantes y valiosos incluso si la HR resulta ser falsa: de hecho, habrá una gran cantidad de actividad para revisar esos resultados y ver cómo deben modificarse. ¿Son sus consecuencias también falsas, o parecen ser ciertas, pero por diferentes razones? ¿Se pueden usar las raíces exóticas de [math] \ zeta (s) [/ math] para proporcionar contraejemplos? ¿Existe una versión cuantitativa del teorema que sigue siendo cierta, con estimaciones suavizadas que dependen de la desviación y la frecuencia de las raíces exóticas? Y así sucesivamente y así sucesivamente.
- Is [math] \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ int_0 ^ {\ frac {1} {n}} \ ln \ left (\ frac {1 + t ^ 3} {t} \ right ) \, dt [/ math] convergente?
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En otras palabras, las personas que publicaron teoremas del tipo “RH implica X” probablemente serán las más entusiasmadas con las noticias, no las más deprimidas. El trabajo de su vida no está “retrasado”, ha dado un giro (muy, muy, muy ) sorprendente y hay toneladas de trabajo nuevo por hacer.
No estoy negando que haya un período de conmoción. Honestamente, este es (en mi opinión) un escenario completamente extravagante para contemplar. Pero si sucede, hombre, qué paseo. Será genial
Probablemente valga la pena señalar que si la HR es falsa, entonces comienza a ser falsa muy, muy lejos de donde estamos parados.
Se confirmó que los primeros 1,000 ceros de la función zeta de Riemann se encuentran exactamente donde se supone que deben estar, justo en la franja crítica, en 1935. Los ceros de la función zeta se pueden ordenar de acuerdo con el valor de su parte imaginaria, y Cuando hablamos de los “primeros” ceros, esto es lo que queremos decir.
Desde entonces, hemos inventado computadoras y algoritmos ingeniosos para verificar estas raíces: trabajo de Titchmarsh, Turing, Lehmer, Brent, Odlyzko, Schönhage y muchos otros. Para el año 2004, en lugar de los primeros 1,000 ceros, hemos recibido la confirmación de los primeros 10,000,000,000,000 de ceros (Ver el documento de Xavier Gourdon), y la gente tiene incluso miles de millones de ceros “verificados” que se encuentran mucho más arriba en la franja crítica, tan alto como [matemáticas] 10 ^ {24} [/ matemáticas].
Entonces, si hay un Rogue One, un cero que se desvía locamente de la línea [math] \ Re (z) = 1/2 [/ math], tiene que estar lejos, muy arriba en el plano complejo. Me gusta, muy lejos.
Robin y Lagarias demostraron que la HR es equivalente a una declaración completamente elemental. Deje que [math] H_n = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ ldots + \ frac {1} {n} [/ math] sea el [math] n ^ {\ text {th}} [/ math] número armónico. Entonces la HR es equivalente a la afirmación de que para cada número natural [matemáticas] n [/ matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {d | n} d \ leq H_n + \ exp (H_n) \ log (H_n) [/ math].
(La suma de la izquierda es la suma de los divisores de [matemática] n [/ matemática], a veces llamada [matemática] \ sigma (n) [/ matemática]. Por ejemplo, [matemática] \ sigma (8) = 15 [/matemáticas].)
Una vez más, esta simple desigualdad puede verificarse para valores muy grandes de [math] n [/ math], y si se vuelve falsa en algún lugar, va a estar muy lejos, y probablemente sea falsa para valores muy raros de [math] n [/ matemáticas]. Entonces, desde esta perspectiva, también, si la HR es falsa, todavía es mayormente cierto en algún sentido.
(Por cierto, esta declaración equivalente de HR también tiene implicaciones teóricas intrigantes. La desigualdad de Lagarias es una declaración [matemática] \ Pi_1 [/ matemática] en el sentido lógico, lo que significa que si la HR es falsa, entonces esto puede probarse en ZFC o incluso Aritmética de Peano. Dicho de otra manera, la única forma en que RH puede ser indecidible en PA es si es realmente cierto).
Muchos de los teoremas que se probaron, condicionalmente, bajo el supuesto de que RH es cierto, también se han probado incondicionalmente. Por lo tanto, esta es otra forma en que los documentos históricos que dependen de RH no serán “retrasados” por el sorprendente descubrimiento de que RH es falso.
En 1918, Hecke demostró una declaración importante sobre los campos cuadráticos imaginarios de la clase número 1, condicionada a una cierta forma generalizada de HR. En 1933–1934 Deuring, Mordell y Heilbronn probaron sucesivamente teoremas que se basan en el supuesto de que RH es falso , culminando en una prueba que coincide exactamente con el resultado original de Hecke pero con el supuesto opuesto. Por lo tanto, el resultado es verdadero independientemente de si esta HR generalizada es verdadera o falsa. Esta secuencia inusual de eventos se describe muy bien en Irlanda y Rosen.
Además, todos esos resultados fueron subsumidos por el trabajo de Siegel, Stark, Baker y otros, con resultados que no dependen en absoluto de la HR.
Del mismo modo, Hardy y Littlewood utilizaron RH en 1923 para demostrar la débil y extraña conjetura de Goldbach. Más tarde, Vinogradov logró el mismo resultado sin HR (y más recientemente, Helfgott demostró la extraña conjetura de Goldbach por completo, también sin HR).
No digo que todavía no haya resultados que solo se sepan si la RH se cumple. Pero creo que hay una noción romántica de que las personas han tenido carreras enteras construidas con capas sobre capas de estructuras que requieren HR en su base, y todo se desmorona si alguien detecta un solo cero con un valor real de [matemáticas] 0.499923 [ /matemáticas]. Así no es cómo funciona. La investigación realizada para dilucidar las conexiones entre esas piezas móviles es valiosa en muchos sentidos, independientemente del destino final de RH.
Ciertos algoritmos teóricos de números para pruebas de primalidad y factorización de enteros han conjeturado tiempos de ejecución que solo se pueden probar bajo ciertas extensiones de RH. Si se demuestra que la HR es falsa (o si se ha comprobado que es cierta), no pasará mucho con esos algoritmos. Todavía son tan efectivos como lo son ahora. Será interesante comprender su comportamiento asintótico real si la HR es falsa, pero su descubrimiento y utilización no son “retrasados” por un cero falso de la función zeta de Riemann.
Creo que eso es típico de los resultados relacionados con la HR. Entonces, si has leído hasta aquí, lo siento, supongo que no tengo una respuesta honesta a la pregunta. Simplemente no puedo pensar en alguien cuyo trabajo esté “retrasado” por este giro de los acontecimientos, tan dramáticamente inesperado como lo es.
