¿Cómo se nota que [matemáticas] a – b [/ matemáticas] es un factor de [matemáticas] a ^ n – b ^ n [/ matemáticas]?

Usa la división larga polinómica. [matemáticas] a ^ n + 0a ^ {n-1} b + \ puntos + 0ab ^ {n-1} – b ^ n [/ matemáticas] dividido por [matemáticas] a – b [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] a ^ {n-1} + a ^ {n-2} b + \ dots + ab ^ {n-2} + b ^ {n-1}. [/ math]

División larga polinómica – Wikipedia

Considerando [math] a \ neq b [/ math], (creo que es mejor tomar [math] a> b [/ math] para evitar números negativos) tenemos

[matemáticas] ab \ equiv 0 \ mod (ab) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a \ equiv b \ mod (ab) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a ^ n \ equiv b ^ n \ mod (ab) [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {a ^ nb ^ n \ equiv 0 \ mod (ab)} [/ math]

donde [matemáticas] n \ ge 0, n \ in \ Z [/ matemáticas]

Una forma es verlo es ver esto como un polinomio en una de las variables, digamos [math] a, [/ math] así:

[matemáticas] f (x) = x ^ n – b ^ n [/ matemáticas]

Este polinomio tiene un cero obvio: [matemática] f (b) = 0. [/ matemática] Según el teorema del resto polinomial, [matemática] xb [/ matemática] debe ser un factor de [matemática] x ^ n – b ^ n .[/matemáticas]

Sustituyendo [math] a [/ math] por [math] x [/ math] se obtiene nuestro resultado.

Aquí hay una referencia al Teorema del resto polinómico: la respuesta del usuario de Quora a ¿Es posible crear un polinomio en el que necesite usar raíces para factorizarlo, pero el resultado será un número sin raíces?

La intuición está en los ojos del espectador y está en deuda con el coeficiente intelectual del espectador.

Pero una vez que plantea el desafío de factorizar a ^ nb ^ n, facilítenos a los humanos débiles al proporcionar una pista de que ab podría ser un factor, entonces es posible que haya bajado lo suficiente el umbral de coeficiente intelectual necesario para que califique como “intuitivo”.

Entonces, trabajemos en el acertijo

(ab) * some_polynomial_in_a_and_b = a ^ n – b ^ n.

Con un golpe de suerte, eliges probar un polinomio homogéneo para el segundo factor, me refiero a uno que tenga el mismo grado para todos sus monomios. Entonces dicho polinomio debería tener un grado n-1 (¿por qué?).

Por ejemplo, para n = 3: (ab) (c1 a ^ 2 + c2 ab + c3 b ^ 2) = a ^ 3-b ^ 3

Luego, “adivina” los coeficientes c1, c2, c3 expandiendo sistemáticamente el LHS y equiparando los coeficientes en ambos lados y encuentra que c1 = c2 = c3 = 1

Entonces, tienes (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) = a ^ 3-b ^ 3

Ahora, el caso n = 2 es elemental: (ab) (a + b) = a ^ 2- b ^ 2

Una vez que hayas resuelto n = 4, entonces lo has resuelto todo, y puedes atreverte a generalizar cualquier n, usando los símbolos SIGMA como suma, aún tomando el factor acompañante de (ab) como un polinomio homogéneo de grado n-1 .

Bueno, después de escribir todo esto, concluyo, esto NO es intuitivo, al menos NO para mi coeficiente intelectual promedio.

En general, [matemáticas] a ^ nb ^ n [/ matemáticas] debería tener n factores. Otra forma de decir esto, debería haber n soluciones para [matemáticas] a ^ nb ^ n [/ matemáticas] = 0. Una solución obvia es a = b. Por lo tanto (ab) = 0 debe ser uno de los factores de [matemática] a ^ nb ^ n [/ matemática]

Bastante sencillo. Según el teorema fundamental del álgebra, los factores son los ceros. En pocas palabras, un polinomio tiene factor [matemática] a – b [/ matemática] solo si [matemática] a – b = 0 [/ matemática] implica [matemática] a ^ n – b ^ n = 0 [/ matemática]. Pero esto implica que [matemáticas] a = b [/ matemáticas]. Es obvio por qué el caso [matemática] a = b [/ matemática] sería una solución a la ecuación [matemática] a ^ n – b ^ n = 0 [/ matemática].

Deje ab = k

a = k + b

a ^ n – b ^ n = (k + b) ^ n – b ^ n

Entonces, por expansión binomial, b ^ n se cancelará y k sería común en el resto de los términos.

Por lo tanto, ab divide a ^ n – b ^ n

Pienso en este tipo de preguntas de “¿Cómo se le ocurrió a alguien?” Todo el tiempo. Ciertamente no sé la respuesta histórica, pero diría que se hunde gradualmente después de ver que es cierto para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas] y luego no es muy difícil darse cuenta de que es cierto para [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas]. También podría centrarse primero en [matemáticas] x ^ n-1 [/ matemáticas] y generalizar más tarde. Entonces podría pensar [matemáticas] (x-1) ^ n = x ^ n – … – 1 ^ n [/ matemáticas] así que tal vez haya una forma de aplicar ingeniería inversa para golpear [matemáticas] x-1 [/ matemáticas] con algún factor que cancelará todos los términos intermedios y aún dejará los extremos. Claramente, necesitará tener [matemáticas] x ^ {n-1} [/ matemáticas] y también 1. Si eso es todo lo que tiene, obtendría [matemáticas] (x-1) (x ^ {n -1} +1) = x ^ n – x ^ {n-1} + x – 1 [/ math] que está cerca pero necesita reparación. Si desea cancelar [math] x ^ {n-1} [/ math] también puede incluir [math] x ^ {n-2} [/ math] para que cuando se combine con la x usted ‘ Obtendré la cancelación deseada. Luego encuentra que quedan otros términos, así que ahora incluye [matemáticas] x ^ {n-3} [/ matemáticas] y luego tiene la idea de que tal vez [matemáticas] (x-1) (x ^ {n -1} + x ^ {n-2} +… + 1) = x ^ n-1 [/ math] y mierda, tienes un artículo para publicar.

Si (ab) es un factor de (a ^ n – b ^ n), entonces diga (a ^ n – b ^ n) = k * (ab). Cuando (ab) = 0 entonces (a ^ n – b ^ n) = k * (ab) = k * 0 = 0

Ahora si (ab) = 0 entonces a = b.

Entonces a ^ n – b ^ n = a ^ n – a ^ n = 0.

Entonces (ab) es un factor de (a ^ n – b ^ n)

¡En mi idea depende de tu intuición! Es obvio para mí porque lo he usado muchas veces en mis problemas matemáticos. Si también trabajas con él y lo usas para resolver problemas matemáticos, ¡también será obvio para ti!