Supongamos que tenemos un sistema que deseamos estudiar desde la perspectiva de la mecánica cuántica.
El formalismo introducido por Paul Dirac habla de un ket , que es básicamente un vector en un extraño espacio abstracto H (llamado espacio de Hilbert [1]), que contiene toda la información sobre el sistema que estamos estudiando.
Supongamos que hay algún parámetro físicamente observable del sistema (llamado observable) que queremos medir. Esto podría ser momento, momento angular, momento magnético, energía, etc. Tal observable tiene un operador correspondiente [2], que tiene alguna forma de actuar sobre los vectores que se encuentran dentro del espacio H. ( Hasta ahora todo bien …)
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Todos los observables físicos se consideran hermitianos [3] (para ver un argumento que pruebe esto, consulte ¿Por qué utilizamos operadores hermitianos en QM?). En ese caso, los espacios propios correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales. Asumamos que no hay degeneración en los espacios propios. En ese caso, lo que esto prueba básicamente es: los Eigenkets correspondientes a diferentes autovalores son ortogonales; Como resultado, la proyección del espacio de posición de estos kets, que son precisamente lo que llamamos “funciones propias” (o lo que el OP denomina “funciones de onda” propias del operador), debe ser ortogonal.
Como caso especial, estas podrían ser funciones propias del Hamiltoniano [4] , en cuyo caso las llamaríamos “funciones propias de la energía”, que nuevamente serían ortogonales porque el Hamiltoniano es en sí mismo un operador Hermitiano (mide la energía, que definitivamente es ¡físicamente observable en experimentos!)
Por lo tanto, la ortogonalidad de las funciones de onda (más bien, las funciones propias) es el resultado del hecho de que los observables físicos corresponden a operadores hermitianos .
Notas al pie
[1] Espacio de Hilbert – Wikipedia
[2] Mapa lineal – Wikipedia
[3] Operador ermitaño
[4] Hamiltoniano (mecánica cuántica) – Wikipedia
