Cómo mostrar por inducción que para positivo [matemáticas] n [/ matemáticas] [matemáticas] \ geq3 [/ matemáticas], [matemáticas] n ^ {n + 1}> {(n + 1)} ^ n [/ matemáticas]

1. Si [matemática] n = [/ matemática] 3, tenemos [matemática] n ^ {n + 1} = 3 ^ 4 = 81> 64 = 4 ^ 3 = (n + 1) ^ n [/ matemática], entonces la desigualdad se mantiene.
2. supongamos que la desigualdad se cumple para algunas [matemáticas] n [/ matemáticas], mostramos que también se cumple para [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas]. Tenemos que mostrar que [matemáticas] (n + 2) ^ {n + 1} <(n + 1) ^ {n + 2} [/ matemáticas]. Hagamos algunos cálculos:

[matemáticas] (n + 2) ^ {n + 1} [/ matemáticas] [matemáticas] = (n + 2) \ cdot (n + 2) ^ {n} = \ frac {(n + 2) ^ n} {(n + 1) ^ n} (n + 1) ^ n \ cdot (n + 2) = \ left (\ frac {n + 2} {n + 1} \ right) ^ n (n + 1) ^ n \ cdot (n + 2) [/ matemáticas]

Ahora usamos hipótesis de inducción para obtener [matemáticas] \ left (\ frac {n + 2} {n + 1} \ right) ^ n (n + 1) ^ n \ cdot (n + 2) <\ left (\ frac {n + 2} {n + 1} \ right) ^ nn ^ {n + 1} \ cdot (n + 2) [/ math]

Ahora, como [matemáticas] n (n + 2) <(n + 1) ^ 2 [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] \ frac {n + 2} {n + 1} <\ frac {n + 1 } {n} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] \ left (\ frac {n + 2} {n + 1} \ right) ^ nn ^ {n + 1} \ cdot (n + 2) <\ left (\ frac {n + 1} {n } \ right) ^ nn ^ {n + 1} \ cdot (n + 2) = (n + 1) ^ n \ cdot n \ cdot (n + 2) <(n + 1) ^ {n + 2} [ /matemáticas]

donde la última desigualdad se sigue nuevamente de [matemáticas] n (n + 2) <(n + 1) ^ 2 [/ matemáticas].

QED

Usar la inducción suena un poco artificial porque la prueba es muy sencilla

(n + 1) ^ n

Lim x-% (1 + 1 / x) ^ x = e

% significa infinito aquí, todavía estoy esperando un alma de caridad que me enseñe cómo escribir matemáticas en esta quora.

Entonces, si usamos la secuencia entera positiva n en lugar de la secuencia real x obtendríamos

(1 + 1 / n) ^ n

Escogiendo ambos extremos

((n + 1) / n) ^ n

(n + 1) ^ n

Inmediatamente pienso en alguna forma intuitiva de abordar la respuesta, porque la inducción es excelente, pero se vuelve seca a medida que pasa el tiempo.

Expanda el segundo término, pieza por pieza, por el teorema binomial,

[matemáticas] (n + 1) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} n ^ {nk} [/ matemáticas]

Para el primer término, tenemos

[matemáticas] n ^ {n + 1} = n (n ^ n) [/ matemáticas]

Recuerde que esto es mayor que la expansión binomial anterior

[matemáticas] n (n ^ n)> \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} n ^ {nk} [/ matemáticas]

Si dividimos ambos lados entre [matemáticas] n, [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ n> \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} n ^ {nk-1} [/ matemáticas]

Que no es más que

[matemáticas] n ^ n> \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} \ binom {n} {k} n ^ {nk}. [/ matemáticas]

Volveré a esta pregunta en un momento, pero si alguien puede continuar este enfoque antes de eso, avíseme.