Un número triangular es el número de puntos que necesitaría para construir triángulos equiláteros con longitudes de lados enteros, como se muestra a continuación.
Denotado por t minúscula, la secuencia es:
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[matemáticas] t_n = \ {1,3,6,10,15,21,28,36,… \} [/ matemáticas]
Observe cómo cada término agrega el siguiente entero positivo. El primer triángulo es 1. El segundo triángulo es 1 + 2. El tercer triángulo es 1 + 2 + 3, y así sucesivamente. Por lo tanto, el enésimo número triangular es la suma de los primeros n números naturales.
La fórmula general para números triangulares:
[matemáticas] t_n = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n (k) = 1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]
Un par de propiedades interesantes y menos conocidas de los números triangulares:
- La suma de los números triangulares n th y n + 1 st es siempre n + 1 al cuadrado.
[matemáticas] t_n + t_ {n + 1} = (n + 1) ^ 2 [/ matemáticas]
- La suma de todos los recíprocos de los traingulares es exactamente igual a 2.
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {N \ to \ infty} \ sum_ {n = 1} ^ N \ left (\ frac {1} {t_n} \ right) = 2 [/ math]
