Para completar, tal vez debería existir una solución explícita aquí.
Haga un contorno de cuadro, [matemática] \ Gamma [/ matemática] de altura [matemática] \ pi i [/ matemática] y escriba [matemática] \ int _ {\ Gamma} (*) = \ left (\ int _ {\ mathbb { R}} + \ int _ {\ infty} ^ {\ infty + \ pi i} – \ int _ {\ mathbb {R} + \ pi i} – \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty + \ pi i} \ right) (*) [/ math]. Tenga en cuenta que [math] \ cosh (x) \ rightarrow \ infty [/ math] como [math] x \ in \ mathbb {R} \ rightarrow \ infty [/ math]. Reducimos a [math] \ int _ {\ Gamma} = \ int _ {\ mathbb {R}} (*) – \ int _ {\ mathbb {R}} – \ sech (x) \ exp (-iwx) \ exp ( \ pi w) dx: = I + I \ cdot \ exp (\ pi w) [/ math].
Luego calculamos el único residuo en [math] z = \ pi i / 2 [/ math]. Tenemos que [matemáticas] \ lim_ {z \ rightarrow \ pi i / 2} \ frac {z- \ pi i / 2} {\ cosh (z)} \ exp (w \ pi / 2) = \ exp (w \ pi / 2) \ lim \ frac {1} {\ sinh (z)} = -i \ exp (w \ pi / 2) [/ math]. Invocación del teorema del residuo, [matemática] I \ cdot (1+ \ exp (\ pi w)) = 2 \ pi i \ cdot [-i \ exp (w \ pi / 2)] [/ math].
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El álgebra reduce este resultado a [matemáticas] I \ cdot \ cosh (\ pi w / 2) = \ pi [/ matemáticas].
