Escriba la solución al caso homogéneo, a saber, [matemática] C \ cos (2x) + D \ sin (2x) [/ matemática] (¿por qué?). Ahora queremos usar Ansatz para adivinar la solución a la no homogénea. Simplemente necesitamos una de esas soluciones (de nuevo, debe preguntar por qué).
Suponemos que [math] f (x): = Ex \ cos (x) + Fx \ sin (x) + G \ cos (x) + H \ sin (x) [/ math].
Entonces [matemáticas] 4Ex \ cos (x) + 4Fx \ sin (x) + 4G \ cos (x) + 4H \ sin (x) – 2E \ sin (x) – Ex \ cos (x) + 2F \ cos ( x) – Fx \ sin (x) – G \ cos (x) – H \ sin (x) = x \ cos (x). [/ math]
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Entonces, igualando coeficientes: [matemática] 4E-E = 1 [/ matemática]; [matemáticas] 4F-F = 0 [/ matemáticas]; [matemáticas] -2E + 3H = 0 [/ matemáticas]; [matemática] 2F + 3G = 0 [/ matemática], de donde [matemática] E = 1/3 [/ matemática]; [matemáticas] H = 2/9 [/ matemáticas]; [matemáticas] F = G = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la solución al Ansatz es [matemática] 1/3 \ cdot x \ cos (x) + 2/9 \ cdot \ sin (x) [/ math].
Entonces, la solución general al ODE es: [matemáticas] C \ cos (2x) + D \ sin (2x) + 1/3 \ cdot x \ cos (x) + 2/9 \ cdot \ sin (x) [/ matemáticas].
Finalmente, hay tres pasos para este problema: (a) encontrar una solución homogénea general; (b) notando entonces que solo necesita adivinar una solución no homogénea; y (c) ser juicioso acerca de cómo adivinar tal solución.
