¿Es nuestra comprensión y uso del infinito en matemáticas una mentira piadosa?

El finitismo es una cosa. La mayoría de las otras respuestas aquí son regurgitaciones de cursos de primer año que suponían implícitamente que ZFC era la verdadera base para las matemáticas. Recuerdo que alguien dijo que el conjunto de todos los conjuntos no existe, a lo que mi respuesta favorita menciona la teoría de conjuntos positivos.

No soy un finitista, mi objeción es que no nos permite hacer afirmaciones sobre todos los números, y parece estar en contradicción con cualquier teoría de tipos con tipos inductivos (teorías de tipos donde uno puede definir ℕ como un tipo). Incluso en la teoría de conjuntos finitistas, parecemos incapaces de definir la función sucesora, que cuantifica implícitamente sobre la clase de todos los conjuntos (finitos). Me agradaría que alguien pudiera demostrar que estoy equivocado en esto o señalar algún error en mi razonamiento.

Sin embargo, soy (como se podría adivinar por mi mención de los tipos), un intuicionista. Cuando trabajo con números irracionales, los acepto ya sea por la definición incontrolable de números reales como el único campo completo ordenado de Archimedean, o, intuitivamente, como límites idealizados de secuencias racionales que simplifican los cálculos (algo así como lo que se describe en http: //www.math.rutgers.edu/~zei …, pero no tan gritón). Las pruebas que requieren clásicamente la ley del intermediario excluido se manejan de manera similar: haciendo una prueba de que, dado algún proceso de decisión relevante, la declaración original puede ser probada. Este enfoque se describe en http://math.fau.edu/richman/Docs …, que es bastante más sensato. También es cierto que podríamos pedir una prueba completa de LEM o una propuesta equivalente, pero eso nos dice menos sobre lo que implica la prueba, y no nos permite hacer la prueba constructiva al encontrar el proceso de decisión más adelante.

En resumen, lo que usted cree en las matemáticas está determinado por los axiomas que cree, complementados posiblemente por el uso restringido de axiomas adicionales no contradictorios por conveniencia (se podría decir que son mentiras piadosas). Es más fácil si elige conjuntos de axiomas más completos (como la lógica clásica) y conjuntos de axiomas más comunes (como ZFC) porque le permiten leer las pruebas de los demás de una manera más cercana a lo que pretendían. Pero no hay mucho que te impida no creer en el infinito, siempre y cuando entiendas de qué se trata la gente que cree en él.

Una de las lecciones más importantes que aprenderá si continúa aprendiendo matemáticas reales es esta: el hecho de que no comprenda alguna definición o teorema no lo hace absurdo.

Encontrarás todo tipo de absurdos en una carrera matemática, así que no me malinterpreten para decir que cada afirmación con la que te encuentres debe tomarse como la verdad. Pero es un salto largo de “No sé si esta definición es coherente” a “esta definición es contradictoria”. (Además, recuerde que las definiciones no pueden ser verdaderas o falsas; pueden estar mal formadas, es decir, sin sentido debido a su “gramática”, o bien formadas).

La situación no se ve favorecida en absoluto por la forma en que las matemáticas intentan poner muchos tipos de nociones cualitativas, vagas o intuitivas en un entorno cuantitativo y / o preciso. Esto puede representar un gran avance en el conocimiento humano (ver, por ejemplo, todo el campo de probabilidad), pero alguien que se acerca a las matemáticas con un apego demasiado fuerte a su antigua comprensión intuitiva puede cometer algunos errores graves. (Ver también: probabilidad).

Esto, creo, está en la raíz de su problema con el infinito. En el uso cotidiano no técnico, la palabra “infinito” significa algo así como “más grande que todo lo demás”, e incluso contiene intuiciones de “contiene toda la complejidad posible dentro de sí misma”. Y de hecho, esas intuiciones están equivocadas: es matemáticamente comprobable que ningún conjunto puede ser “más grande que cualquier otro conjunto” o codificar toda la complejidad que se encuentra en el universo. (El universo [matemática] V [/ matemática] de conjuntos que es … el jurado aún está pendiente de determinar si el universo físico tiene una complejidad limitada. Mi dinero está en sí.)

Cuando somos niños, aprendemos que “infinito un número más grande que cualquier otro número”. Bueno, no es así como realmente funciona cuando te sientas a hacer los cálculos. En primer lugar, “infinito” no es solo un número, y es mejor ni siquiera usarlo como un sustantivo independiente a menos que realmente sepas lo que estás haciendo. (Incluso la frase “el límite como [matemática] t [/ matemática] va a [matemática] \ infty [/ matemática]” causa problemas si depende de ciertas intuiciones). En realidad, los matemáticos usan mucho más comúnmente el adjetivo “infinito” que el sustantivo “infinito”, y todo el misticismo envuelto en cualquier palabra se elimina cuando “finito” se define como “en biyección con algún conjunto [matemático] \ {0,1, \ ldots, n -1 \} [/ math] e “infinito” solo significa “no finito”.

TL / DR: las definiciones importan y ocasionalmente matan las fantasías de tu infancia.

No quiero entrar en una guerra de llamas, pero estoy de acuerdo con el interrogador. Este negocio infinito actual no tiene sentido. Creo que hay muchas personas que se engañan a sí mismas de que manejan el infinito cuando realmente no lo hacen. Considere los enteros positivos. Observe que para cada número hay otro número que es su doble. Además, no hay dos números que tengan el mismo doble. En ese caso, podría decir que hay tantos números pares como números. Y sin embargo, existen números que no son pares. Por lo tanto, los tamaños del conjunto de todos los números positivos y el conjunto de los pares positivos son iguales y desiguales. Contradicción. La falla está en suponer que un conjunto infinito puede tener un “tamaño”. La palabra infinito significa literalmente sin fin y, sin embargo, la gente a menudo la trata como si de alguna manera terminara. Ahí está la hipocresía. Un conjunto infinito realmente no puede existir porque, por definición, nunca terminarás de crearlo. Para resolver su hipocresía, se nos pide que aceptemos ideas tontas como esa, un conjunto puede tener el mismo tamaño que un subconjunto adecuado de sí mismo, y luego avanzar desde allí. No acepto eso.
También veo mucho ‘atractivo a la autoridad’ en este asunto, ya que en “personas más inteligentes de lo que piensas, el infinito es real, así que debes estar equivocado”. Esa es una falacia lógica conocida, pero también puedo jugar ese juego. En una famosa cita de Gauss, él “protesta contra el uso de la magnitud infinita como si se tratara de algo completado, lo que nunca es permisible en matemáticas”. Más tarde, Henri Poincare dijo: “No hay infinito real. Los cantorianos se han olvidado de esto y es por eso que han caído en contradicción ”. Tengo la sensación de que existe una idea moderna predominante de que, desde que Cantor y otros han llegado más tarde que Gauss y Poincare, han adquirido algunas ideas de las que carecían los matemáticos del siglo XIX, y así que en cierto sentido les he demostrado que están equivocados. Personalmente, no lo compro. Todavía tengo mucho más respeto por un Gauss o un Poincare que por un Cantor. Creo que está más cerca de la verdad decir que los matemáticos que creen y trabajan en infinitos reales son charlatanes, y solo están jugando juegos que los mejores matemáticos evitan porque reconocen esos juegos como basados ​​en absurdos.
He visto muchos debates en línea sobre el infinito a lo largo de los años y desafortunadamente en este punto siento que las personas que quieren creer en el infinito real continuarán haciéndolo, sin importar lo que digas, así como las personas que quieren creer en Dios continuarán hacerlo sin importar lo que digas.
Se pidieron pensamientos. Esos son míos.

Si se puede decir que una idea matemática se entiende está determinada por la capacidad de uno para probar y aplicar hechos sobre la idea. En ese sentido, el infinito es un concepto que muchos practicantes de las matemáticas entienden muy bien, de la misma manera que los números primos y la geometría se entienden bien.

Se podría plantear una definición alternativa en la que comprender significa poder visualizar de manera concreta y fiel. En ese sentido, tendería a estar de acuerdo en que nadie realmente comprende el infinito. Pero hay muchas cosas en las matemáticas modernas para las que las visualizaciones son, en el mejor de los casos, una guía para la intuición. Esa es una gran razón por la que las pruebas son tan importantes.

Puede haber algún valor filosófico en la exploración de definiciones del término comprensión que no son matemáticamente significativas. Pero vale la pena señalar la delineación entre filosofía y matemáticas.

En realidad, diría que es todo lo contrario. Podemos decir que un infinito es más grande que otro, porque podemos describir con precisión por qué es más grande y, lo que es más importante, en términos matemáticos, la forma en que se comportan los infinitos más grandes y más pequeños es completamente consistente con la forma en que otras cosas son (matemáticamente) más grande o más pequeño que el otro se comportan.

Muchos de los avances más importantes en matemáticas se han logrado precisamente al dar una etiqueta a las cosas que los seres humanos encuentran difíciles o imposibles de concebir en términos cotidianos, y luego investigar cómo se comportan. Infinito es un ejemplo, pero el ejemplo clásico es i , la raíz cuadrada de menos 1.

i es un número que no existe en ninguna parte de nuestras escalas de números convencionales. No puede, porque un menos por un menos siempre es positivo, entonces, ¿cómo pueden multiplicarse dos números idénticos a un negativo? Entonces imaginamos cómo sería si existiera. (Ahí es donde recibe su nombre: i = imaginario).

Pero lo más notable es que, al haber etiquetado i, no solo encontramos que se comporta como otros números y funciona con nuestras técnicas matemáticas existentes, sino que en realidad comienza a surgir en aplicaciones del mundo real, como la física cuántica.

Es lo mismo con el infinito. De hecho, uno de los principales avances en la física cuántica fue una técnica llamada renormalización, en la que divide ambos lados de una ecuación cuántica por infinito para deshacerse de los infinitos que surgen si no lo hace. (Muchos físicos creen que obtener infinitos significa que no entendemos completamente la física cuántica, pero son una consecuencia inevitable de nuestra formulación actual, y la renormalización es un truco que nos permite tratar con ellos).

Para tomar algunos ejemplos más concretos, hasta que comenzamos a usarlos, los conceptos de 0 y números negativos eran igual de esotéricos. De hecho, los números en su conjunto fueron considerados con profunda sospecha hasta no hace mucho tiempo (es por eso que los cheques requieren que escribamos la cantidad en números y en palabras).

Pero con todas estas cosas, las encontramos consistentes con todo lo demás que entendemos sobre matemáticas, y excepcionalmente útiles.

Dicho de otra manera: nuestras mejores y más precisas técnicas para explicar y medir el universo requieren que tratemos el infinito, i, cero y sus cohortes como si fueran cosas reales, y cuando lo hacemos, somos recompensados ​​con cálculos que funcionan y un sistema es decir (dentro de las limitaciones del teorema de Godel y similares) autoconsistente. Estas no son solo cosas que hemos inventado. Obedecen las reglas que hacen todos nuestros otros números, solo con un capricho específico.

Me parece interesante que la respuesta a esta pregunta sea tan abrumadoramente negativa como la respuesta que obtuvo Georg Cantor cuando intentó definir las matemáticas en términos de infinitos.

Hay un grano de verdad en la declaración. Nuestra noción de infinito es solo un marcador de posición para el razonamiento inductivo finito. Tal vez similar a pensar en derivados como ‘infinitesimales’ en lugar de un valor límite. Por supuesto, los infinitos han demostrado ser un marcador de posición muy útil. pero al igual que los infinitesimales, tal vez sería posible redefinir las matemáticas basadas en nociones de límites, en lugar de usar explícitamente infinitos.

* infinitos

Los matemáticos generalmente se refieren al infinito como ilimitado. La prueba de los números primos infinitos, por ejemplo, muestra que no están delimitados por ningún número y, por lo tanto, son infinitos.

¿Por qué el infinito no sería medible?
Algunos infinitos son y otros no.

No.

Tiene derecho a su opinión, pero no a sus propios hechos. Lo que la “mente humana” puede comprender no es una cuestión de opinión; Es una cuestión de hecho.

Por otro lado, al menos puede consolarse con el hecho de que está en buena compañía. Muchas personas, especialmente (pero no exclusivamente) aquellas que no han estudiado matemáticas avanzadas, tienen muy poca comprensión de las nociones de infinito.