¿Cuáles son algunos de los teoremas más oscuros y útiles en matemáticas?

Los teoremas útiles tienden a no ser oscuros. La única advertencia a esto es cuando tienes un resultado que tiene muchas aplicaciones agradables, pero las herramientas utilizadas para probar y quizás expresar el resultado son más difíciles de lo que la mayoría de los estudiantes están preparados para aprender.

Con esta advertencia, mi voto para el teorema oscuro más útil tiene que ser el teorema general de Stokes, que establece que dada una [matemática] k [/ matemática] -forma [matemática] \ omega [/ matemática] y una [matemática] (k + 1) [/ math] -dimensional surface [math] C [/ math], tenemos

[matemáticas] \ int_C d \ omega = \ int _ {\ parcial C} \ omega [/ matemáticas]

Los casos especiales de este teorema incluyen: el teorema fundamental del cálculo, el teorema fundamental de las integrales de línea, el teorema de Green, el teorema de Stokes y el teorema de divergencia. Este teorema también tiene consecuencias maravillosas que conducen a la teoría de la cohomología de De Rham, que esencialmente dice que si quieres comprender la forma de un espacio (más específicamente, la clase de homotopía de una variedad), es más o menos suficiente para estudiar cómo se integran las cosas en este espacio.

Se podría pensar que enseñaríamos este hermoso teorema a cada estudiante de cálculo (o al menos a cada estudiante de cálculo multivariable). Desafortunadamente, esto no es realmente posible porque entender lo que es una forma [matemática] k [/ matemática] en general no es tan fácil. Para realmente hacer justicia al sujeto, necesita al menos una comprensión firme del álgebra lineal, y preferiblemente una base sólida en topología.

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Voto por el teorema de Skolem-Löwenheim, que dice que cualquier sistema de axioma que tenga un modelo tiene un modelo contable que consta de todos los objetos que tienen descripciones en el modelo original. Por lo tanto, los números reales incontables pueden tratarse utilizando un modelo contable de este tipo. Incluso ZFC establece la teoría en su totalidad, y los universos Grothendieck aún más grandes pero aún menos constructivos, y los objetos mucho más grandes que eso en sistemas con grandes axiomas cardinales, se pueden representar en forma contable.

Luego, junto con eso, tenemos métodos para construir modelos cada vez más grandes de cualquier sistema infinito, comenzando con modelos incontables de los números naturales en Aritmética no estándar.

Otro teorema particularmente importante que no es bien conocido, excepto por especialistas, es el Teorema de Tarski, que dice que en cualquier sistema consistente que cumpla con los requisitos del teorema de Gödel es imposible definir la verdad. La definición de la prueba usando la numeración de Gödel nos da declaraciones indecidibles que no se pueden probar ni refutar. La misma construcción aplicada a la verdad nos daría declaraciones que no son ni verdaderas ni falsas, una falla mucho más grave en los sistemas que dependen de Excluded Middle para decir que eso no puede suceder.

Casi todo en Combinatory Logic es extremadamente útil y muy poco conocido. Tuve una pequeña parte en la definición de un lenguaje de programación, J, donde los métodos de lógica combinatoria se pueden aplicar para reescribir cualquier función en una forma que no contenga variables. Esto es esencial en la programación funcional.

Edward Cherlin

Identidad de Lagrange

Esto se puede escribir en varias formas.

Aquí hay uno para la suma algebraica: