Los teoremas útiles tienden a no ser oscuros. La única advertencia a esto es cuando tienes un resultado que tiene muchas aplicaciones agradables, pero las herramientas utilizadas para probar y quizás expresar el resultado son más difíciles de lo que la mayoría de los estudiantes están preparados para aprender.
Con esta advertencia, mi voto para el teorema oscuro más útil tiene que ser el teorema general de Stokes, que establece que dada una [matemática] k [/ matemática] -forma [matemática] \ omega [/ matemática] y una [matemática] (k + 1) [/ math] -dimensional surface [math] C [/ math], tenemos
[matemáticas] \ int_C d \ omega = \ int _ {\ parcial C} \ omega [/ matemáticas]
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Los casos especiales de este teorema incluyen: el teorema fundamental del cálculo, el teorema fundamental de las integrales de línea, el teorema de Green, el teorema de Stokes y el teorema de divergencia. Este teorema también tiene consecuencias maravillosas que conducen a la teoría de la cohomología de De Rham, que esencialmente dice que si quieres comprender la forma de un espacio (más específicamente, la clase de homotopía de una variedad), es más o menos suficiente para estudiar cómo se integran las cosas en este espacio.
Se podría pensar que enseñaríamos este hermoso teorema a cada estudiante de cálculo (o al menos a cada estudiante de cálculo multivariable). Desafortunadamente, esto no es realmente posible porque entender lo que es una forma [matemática] k [/ matemática] en general no es tan fácil. Para realmente hacer justicia al sujeto, necesita al menos una comprensión firme del álgebra lineal, y preferiblemente una base sólida en topología.