¿Cómo se usan las ecuaciones diferenciales en los mercados económicos y financieros?

Viniendo de una formación en ingeniería, podría ser un poco deficiente para responder esta pregunta. Pero permíteme intentar explicarte. Conoce la ecuación de Black – Scholes:

[matemática] \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2S ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2V} {\ parcial S ^ 2} + rS \ frac {\ parcial V} {\ parcial S} + \ frac { \ partial V} {\ partial t} -rV = 0 [/ math]

Como se puede deducir de la ecuación misma, es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden. Se considera que esta ecuación es la clave del éxito financiero (tal vez lo sea, no sé mucho sobre la aplicación actual de las matemáticas en los mercados financieros). Su dominio de aplicación se encuentra en un área de mercado financiero conocida como derivados financieros. Tenga en cuenta que la palabra derivada aquí significa algo completamente diferente a la idea matemática de una derivada. Un derivado financiero puede considerarse como un contrato entre dos o más partes para vender ciertos activos en una fecha futura en función de un precio acordado. Por supuesto, hay formas más sutiles de definir qué es una derivada, pero la definición en la oración anterior es la más simple que puedo decir.

Como todos los instrumentos financieros, el objetivo principal es la maximización de beneficios, mientras que su mayor obstáculo para este objetivo es el tiempo. Por lo tanto, es imperativo que uno descubra cómo cambia el precio de un derivado con el tiempo, ya que puede determinar el mejor momento para que todas las partes compren o vendan el activo (ya que, recuerde, el valor de los derivados se define en un tiempo futuro ).

Ingrese la ecuación anterior. El nombre de las dos personas que lo derivaron y modelaron por primera vez en 1973, Fischer Black y Myron Scholes, es una ecuación que expresa la tasa de cambio del precio de un derivado, [matemática] V [/ matemática] con respecto al tiempo, a través de la combinación de tres factores, a saber, el precio del derivado en sí, la tasa de cambio de ese derivado en relación con el precio de la acción y cómo se acelera el cambio, es decir, la tasa de cambio de la tasa de cambio del precio del derivado .

Las otras cinco variables en la ecuación son indicativas de esta interacción de factores. [matemática] S [/ matemática] es el precio del producto o activo definido por el derivado, [matemática] r [/ matemática] es la tasa de interés libre de riesgo, [matemática] t [/ matemática] es el momento, y [math] \ sigma ^ 2 [/ math] es un parámetro conocido como la volatilidad del mercado, que es la desviación estándar del precio de la acción en relación con el precio medio.

Fuente:

Stewart , I. (2012), En busca de lo desconocido: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo.

Como estudiante de ingeniería, he tenido un par de profesores despotricando sobre esto. Muchas de las ecuaciones estándar dadas a los economistas se derivan de ecuaciones diferenciales, por ejemplo, si una mercancía comienza a apreciarse cuando escasean y comienza a depreciarse cuando hay excedentes, tiene una ecuación diferencial.

Sin embargo, esto está en recuadro negro por el hecho de que estas ecuaciones generalmente se presentan (al menos en mi escuela) como las soluciones de estas ecuaciones sin la ecuación diferencial a partir de la cual se originaron. Por ejemplo, el sistema anterior podría modelarse mediante la siguiente ecuación diferencial:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} = -x [/ matemáticas]

Donde x es el valor actual de la mercancía. Sin embargo, esto podría presentarse solo en su forma resuelta (o, más exactamente, una de sus formas resueltas):

[matemáticas] x = cos (t) [/ matemáticas]

Por lo tanto, la respuesta corta es que las ecuaciones diferenciales existen en gran medida en el back-end de lo que usa en economía. Sin embargo, si desea resolver un problema novedoso de comprender mejor cómo funcionan estos sistemas, entonces necesita ecuaciones diferenciales para resolverlo.

El uso de ecuaciones diferenciales en la economía y los mercados financieros incluye una variedad de temas, tales como catástrofes, bifurcaciones, ciclos comerciales, caos económico, formación de patrones urbanos, división sexual del trabajo y desarrollo económico, crecimiento económico, valores y estructura familiar, el papel de ruido estocástico sobre estructuras socioeconómicas, procesos socioeconómicos rápidos y lentos, y relación entre estructuras microscópicas y macroscópicas. Todos estos temas no pueden ser examinados de manera efectiva por métodos analíticos tradicionales relacionados con la linealidad, la estabilidad y el equilibrio estático. La teoría dinámica no lineal ha cambiado las opiniones de los economistas sobre la evolución. Por ejemplo, la visión tradicional de las relaciones entre leyes y consecuencias (entre causa y efecto) sostiene que las reglas simples implican un comportamiento simple, por lo tanto, el comportamiento complicado debe surgir de reglas complicadas.

Obtienes mi información de este http://u.math.biu.ac.il/~shnider …

El cálculo diferencial, el proceso de obtención de derivados, permite a los economistas medir, por ejemplo, el cambio promedio en el ingreso en relación con el aumento de un año en educación y / o experiencia.

La investigación económica a menudo usa cálculo para examinar las relaciones funcionales. Si el ingreso promedio aumenta a medida que aumentan los años de educación y experiencia laboral, entonces existe una relación positiva entre las variables, es decir, el ingreso es una función de la educación y la experiencia.