Esta función [matemática] f (x) = x ^ x [/ matemática] es continua en el intervalo [matemática] [0, \ infty) [/ matemática] y toma su valor más pequeño en [matemática] x = 1 / e. [/ math] Ese valor más pequeño es [math] f (1 / e) = e ^ {- 1 / e} [/ math] que es aproximadamente 0.6922.
Por lo tanto, cada número mayor o igual a [matemáticas] e ^ {- 1 / e} [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] para algún número [matemáticas] x. [/ Matemáticas]
Apéndice
- Como estudiante de pregrado en matemáticas, ¿cómo puedo saber si tengo la experiencia necesaria para una clase de posgrado?
- ¿Por qué la longitud de la sección divergente en un medidor venturi es más larga que la convergente?
- Cómo demostrar que [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {m + k} {m} = \ binom {m + n + 1} {m + 1} [/ matemáticas]
- ¿Cuál es el valor absoluto de [matemáticas] i [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el mejor libro para aprender teoría de conjuntos para un estudiante de ingeniería?
Por cierto, como está escrito, [matemática] f (x) = x ^ x [/ matemática] no está definida en [matemática] x = 0. [/ matemática] Sin embargo, tiene un límite, ya que [matemática] x \ to0, [/ math] y ese límite resulta ser 1, que puede ver en el gráfico, por lo que puede extenderse continuamente al dominio [math] [0, \ infty). [/ math]
Aquí hay una prueba formal de que el límite es 1. Primero tenga en cuenta que [math] x ^ x [/ math] puede escribirse como [math] e ^ {x \ log x} [/ math] donde log denota el logaritmo natural. Mostraremos eso
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, (x \ log x) = 0 [/ matemáticas]
y seguirá que
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} x ^ x = \ lim_ {x \ to0} e ^ {x \ log x} = e ^ 0 = 1. [/ matemáticas]
Pero, ¿por qué [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \, (x \ log x) [/ math] es igual a 0? Puede reescribir este límite como [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ log x} {1 / x}. [/ Math] Dado que este límite es de forma indeterminada [math] \ dfrac {\ infty} {\ infty}, [/ math] podemos aplicar la regla de L’Hôpital. El límite será el mismo que el cociente de las derivadas del numerador y denominador:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ log x} {1 / x} = \ lim_ {x \ to0} \ frac {1 / x} {- 1 / x ^ 2} [/ math ]
que es igual a [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} -x = 0. [/ matemáticas]
