¿Cuál es la solución del inverso de Laplace de {s ^ 2 / (s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}?

* A2A: –

[matemáticas] \ begin {align} \ mathcal {L} ^ {- 1} \ left \ {\ dfrac {s ^ 2} {\ left (s ^ 2 + a ^ 2 \ right) ^ 2} \ right \} & = \ dfrac {1} {2} \ mathcal {L} ^ {- 1} \ left \ {\ dfrac {\ left (s ^ 2 + a ^ 2 \ right) + \ left (s ^ 2-a ^ 2 \ right)} {\ left (s ^ 2 + a ^ 2 \ right) ^ 2} \ right \} \\ & = \ dfrac {1} {2} \ mathcal {L} ^ {- 1} \ left \ {\ dfrac {1} {s ^ 2 + a ^ 2} \ right \} + \ dfrac {1} {2} \ mathcal {L} ^ {- 1} \ left \ {\ dfrac {s ^ 2- a ^ 2} {\ left (s ^ 2 + a ^ 2 \ right) ^ 2} \ right \} \\ & = \ dfrac {\ sin at} {2a} + \ dfrac {1} {2} \ mathcal {L} ^ {- 1} \ left \ {- \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s} \ left (\ dfrac {s} {\ left (s ^ 2 + a ^ 2 \ right)} \ right) \ right \} \\ & = \ dfrac {\ sin at} {2a} + \ dfrac {1} {2} \ mathcal {L} ^ {- 1} \ left \ {- \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s} \ left (\ mathcal {L} \ {\ cos at \} \ right) \ right \} \\ & = \ dfrac {\ sin at} {2a } + \ dfrac {t \ cdot \ cos at} {2} \ end {align} [/ math]

[math] \ bigstar [/ math] Propiedades utilizadas: –

  • [matemáticas] \ matemáticas {L} ^ {- 1} \ izquierda \ {\ dfrac {\ omega} {s ^ 2 + \ omega ^ 2} \ derecha \} = \ sin \ omega t [/ matemáticas]
  • [matemática] \ matemática {L} ^ {- 1} \ left \ {\ dfrac {s} {s ^ 2 + \ omega ^ 2} \ right \} = \ cos \ omega t [/ math]
  • [math] \ mathcal {L} ^ {- 1} \ left \ {- \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s} \ left (\ mathcal {L} \ left \ {f (t ) \ right \} \ right) \ right \} = t \ cdot f (t) [/ math]

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Si [matemáticas] L ^ {- 1} [\ bar {f} (s)] = f (t) [/ matemáticas] entonces …

[matemática] L ^ {- 1} [s ^ n \ bar {f} (s)] = \ dfrac {d ^ n} {dx ^ n} [f (t)] [/ matemática], siempre [matemática] f (0) = f ‘(0) = f’ ‘(0) =… = f ^ {n-1} (0) = 0 [/ matemática]

Dado que…

[matemáticas] f (t) = L ^ {- 1} [\ dfrac {s ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = L ^ {- 1} [s \ cdot \ dfrac {s} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {d} {dt} [L ^ {- 1} \ dfrac {s} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}] [/ matemáticas]

Ahora primero encuentra …

[matemáticas] f (t) = L ^ {- 1} [\ dfrac {s} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}] [/ matemáticas]

Lo sabemos…

[matemáticas] L (\ dfrac {f (t)} {t}) = \ int_s ^ {\ infty} \ dfrac {s} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} ds = \ dfrac {1} {2} \ int_s ^ {\ infty} \ dfrac {2s} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} ds = – \ dfrac {1} {2} [\ dfrac {1} {s ^ 2 + a ^ 2}] _ s ^ {\ infty} = \ dfrac {1} {2} [\ dfrac {1} {s ^ 2 + a ^ 2}] [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ dfrac {f (t)} {t} = \ dfrac {1} {2} L ^ {- 1} [\ dfrac {1} {s ^ 2 + a ^ 2}] = \ dfrac {\ sin (at)} {2a} [/ math]

[math] \ Rightarrow f (t) = \ dfrac {1} {2a} t \ sin (at) [/ math]

Finalmente…

[matemáticas] L ^ {- 1} [\ dfrac {s ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}] = \ dfrac {d} {dt} [\ dfrac {1} {2a} t \ sin (at)] [/ math]

[math] = \ dfrac {1} {2a} [\ sin (at) + at \ cos (at)] [/ math]

El problema ya está hecho.

Alok Patel

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {s ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L ^ {- 1}} \ left \ {y \ right \} = \ mathcal {L ^ {- 1}} \ left \ {\ dfrac {s ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} \ right \} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {s ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} \ equiv \ dfrac {A} {s ^ 2 + a ^ 2} + \ dfrac {B} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle s ^ 2 \ equiv A (s ^ 2 + a ^ 2) + B \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle s \ equiv \ pm ai, B = -a ^ 2 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle s \ equiv \ pm 0, A = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {s ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} \ equiv \ dfrac {1} {s ^ 2 + a ^ 2} – \ dfrac {a ^ 2} { (s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L ^ {- 1}} \ {y \} = \ mathcal {L ^ {- 1}} \ left \ {\ dfrac {1} {s ^ 2 + a ^ 2} – \ dfrac {a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} \ right \} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L ^ {- 1}} \ {y \} = \ mathcal {L ^ {- 1}} \ left \ {\ dfrac {1} {s ^ 2 + a ^ 2} – \ dfrac {a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} \ right \} \ iff {L ^ {- 1}} \ {y \} = \ frac {1} {a} \ mathcal {L ^ {- 1}} \ left \ {\ dfrac {a} {s ^ 2 + a ^ 2} \ right \} – \ frac {1} {2a} \ mathcal {L ^ {- 1}} \ left \ {\ dfrac {2a ^ 3} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} \ right \} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {L ^ {- 1}} \ {y \} = \ frac {1} {a} \ mathcal {L ^ {- 1}} \ left \ {\ dfrac {a} {s ^ 2 + a ^ 2} \ right \} – \ frac {1} {2a} \ mathcal {L ^ {- 1}} \ left \ {\ dfrac {2a ^ 3} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2} \ right \} \ iff {L ^ {- 1}} \ {y \} = \ frac {\ sin (at)} {a} – \ frac {\ sin (at) -at \ cos (at) } {2a} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L ^ {- 1}} \ {y \} = \ frac {\ sin (at)} {a} – \ frac {\ sin (at) -at \ cos (at)} {2a} \ iff \ mathcal {L ^ {- 1} \ {y \}} = \ frac {\ sin (at)} {2a} + \ frac {t \ cos (at)} {2} \ tag * {}[/matemáticas]

Herramientas utilizadas:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2} = \ mathcal {L} \ {\ sin (at) \} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2a ^ 3} {s ^ 2 + a ^ 2} = \ mathcal {L} \ {\ sin (at) -at \ cos (at) \} \ tag * {} [/ matemáticas]

Alok Patel

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