En lenguaje moderno, el teorema de reciprocidad de Frobenius dice que el functor [math] \ operatorname {res} ^ G_H [/ math], que toma una representación de un grupo G y lo convierte en una representación de un subgrupo H <G al "olvidar cómo multiplicar por elementos fuera de G ", posee un functor adjunto , que llamamos” tomar la representación inducida “y que se denota [math] \ operatorname {ind} ^ G_H [/ math].
Eso lo convierte en un análogo, en la categoría de representaciones grupales, de varias construcciones conocidas en otras categorías, como productos Hom y tensoriales en la categoría de módulos sobre un anillo. Existe una amplia teoría de resultados que se aplica a los functores adjuntos que, por lo tanto, se aplican automáticamente al par res / ind.
Dicho de otra manera, justifica la definición de la representación inducida, que de lo contrario parece una construcción bastante oscura y ad-hoc, al mostrar que es una consecuencia directa de definir el functor de restricción, que es algo mucho más obvio de definir.
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