Editar:
Después de repensar su planteamiento del problema, creo que lo que realmente está resolviendo es que un cilindro tiene un cono en el centro. 
Creo que esto realmente requiere coordenadas cilíndricas en lugar de coordenadas esféricas. Definitivamente sería realmente desordenado en esférico.
En cilíndrico, necesitas una integral de r = 0 a 1 para cubrir x ^ 2 + y ^ 2 = 1.
Debe integrar z de 0 a r para cubrir desde las superficies z = 0 a las superficies sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).
Finalmente, necesita integrar [math] \ theta [/ math] de 0 a [math] 2 \ pi [/ math] para ayudar a satisfacer x ^ 2 + y ^ 2 = 1.
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En coordenadas cilíndricas, la integral finalmente se ve así:
[matemáticas] \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {r} rd {z} d {\ theta} dr = \ frac23 \ pi [/ math]
