Para cualquier técnica numérica iterativa, cada iteración sucesiva da como resultado una solución que se acerca progresivamente a la solución verdadera. Esto se conoce como convergencia . No siempre se garantiza que un método numérico produzca resultados convergentes. La convergencia está sujeta a satisfacer ciertas condiciones. Si no se cumplen estas condiciones, cada iteración sucesiva produce un resultado que se aleja progresivamente de la solución verdadera. Esto se conoce como divergencia .
El enfoque de Gauss Seidel es una técnica numérica utilizada para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Es una mejora de otra técnica numérica similar conocida como Método Jacobi, que también se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El enfoque de Gauss Seidel generalmente se prefiere al enfoque de Jacobi, ya que proporciona una convergencia más rápida, es decir, avanza hacia la verdadera solución en menos iteraciones. Considere un sistema de ecuaciones como sigue:
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Para que el enfoque de Gauss Seidel produzca una solución convergente para el sistema de ecuaciones anterior, la condición que debe cumplirse es que la matriz A debe ser:
1. Una matriz diagonalmente dominante, es decir, cada elemento de la diagonal inicial debe ser mayor o igual que la suma de los valores absolutos de todos los demás elementos en la fila correspondiente.
2. Una matriz definida positiva simétrica, es decir, para todos los vectores de columna cero X, el producto X (T) AX es positivo, X (T) denota la transposición del vector de columna X.
El incumplimiento de las dos condiciones anteriores da como resultado una solución divergente para el Enfoque Gauss-Seidel.
Un ejemplo de convergencia y divergencia a través de Gauss Seidel se puede ver aquí:
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