¿Por qué un polinomio de grado n tiene n raíces?

La historia de esta pregunta es interesante. ¡Muchos matemáticos simplemente asumieron que era verdad y se preguntaron qué tipo de números eran necesarios para encontrar todas las raíces! Una de las ideas proporcionadas por el teorema fundamental del álgebra es que los números complejos son suficientes.

Por ejemplo, Albert Girard afirmó en 1629 que cada polinomio de grado N tiene alguna extensión de R en la que tiene exactamente N raíces. (No es que lo haya expresado exactamente en esos términos).

¡Liebniz se equivocó con esto! Afirmó que no era el caso de que cualquier polinomio real pudiera factorizarse en términos de grado 1 o 2 (es decir, factores lineales o cuadráticos). Su ejemplo fue [matemáticas] x ^ 4 + a ^ 4 = (x + a \ sqrt {i}) (xa \ sqrt {i}) (x + a \ sqrt {-i}) (xa \ sqrt {-i}) [/ math]. Euler luego demostró que este razonamiento era incorrecto, pero no pudo probar el teorema del grado general.

Gauss criticó las primeras pruebas de d’Alembert, Euler y Lagrange por exactamente esta suposición: afirmaron que las raíces existen y luego demostraron que son complejas, en lugar de demostrar que las raíces existen como primer paso.

Ahora hay varias pruebas igualmente buenas del teorema fundamental, y la que es intuitivamente más clara puede depender de sus antecedentes. Ninguno de ellos es, por desgracia, trivial. Incluso las pruebas “mejoradas” de Gauss dependían de supuestos topológicos que solo más tarde se probaron rigurosamente.

La prueba proporcionada en “Números” por Ebbinghaus et al (de la cual aprendí el material anterior) tiene un esquema básico de la siguiente manera:

1. Cada polinomio complejo [matemático] f [/ matemático] es una función continua en los números complejos. Así es su valor absoluto.

2. Una función continua en un espacio métrico compacto (un compactum) supone un mínimo dentro de ese compactum.

3. Dada la capacidad de tomar raíces k’th de un número complejo, podemos tomar un punto [math] f (c) \ neq 0 [/ math] y encontrar [math] f (c ‘) [/ math] con menor valor absoluto

4. ¡Poner # 3 y # 2 juntos muestra que el valor mínimo alcanzado debe ser cero!

5. Sabemos que si [matemática] f (c) = 0 [/ matemática] para polinomio [matemática] f [/ matemática] entonces [matemática] xc [/ matemática] divide [matemática] f (x) [/ matemática] . Por lo tanto, por inducción, si tiene un cero complejo, también debe tener N ceros complejos, donde N es el grado del polinomio.

Una prueba alternativa que no depende de la topología utiliza campos de división. La existencia de campos divididos (usando anillos de cociente) es un resultado básico en la teoría de Galois.

Un polinomio de n grados tiene “como máximo” n raíces. También puede tener cero raíces.
Un polinomio tendrá tantas raíces como la cantidad de veces que su trazado se cruza con el eje x.

Echa un vistazo a estos:

1) y = x ^ 2-1
Un polinomio de segundo grado con dos raíces reales.

2) y = x ^ 2
Un polinomio de segundo grado con una raíz real (repetida).

3) y = x ^ 2 + 1
Un polinomio de segundo grado sin raíces reales.

Editar: La respuesta anterior se ha escrito asumiendo que el OP está interesado en soluciones reales y no en soluciones complejas.

Básicamente es por inducción.

Hay varias formas de mostrar que cada polinomio tiene al menos una raíz compleja.

Una vez que sabe que tiene una raíz a , sabe que es divisible por xa . Esto produce un polinomio de grado uno menos, y la inducción termina el trabajo.

La otra respuesta en esta página, que por Sujit Menon no es correcta (o más bien, solo se cumple en el caso de números reales).

El teorema fundamental del álgebra establece que cada polinomio tiene al menos una raíz, compleja en el caso general. La derivación es larga e involucrada, pero si realmente quieres saberlo, está allí en la página vinculada.

El teorema del resto establece que si [math] a_1 [/ math] es una raíz de la ecuación polinómica [math] p (x) = 0 [/ math], entonces [math] (x – a_1) [/ math] es un factor de [matemática] p_n (x) [/ matemática]. Usando esto, podemos decir que

[matemáticas] \ displaystyle p_n (x) = (x – a_1) p_ {n – 1} (x) [/ matemáticas],

donde [math] p_ {n – 1} (x) [/ math] es un polinomio de grado [math] n – 1 [/ math]. Aplicamos el teorema fundamental en [matemáticas] p_ {n – 1} (x) [/ matemáticas] para obtener una expresión como

[matemáticas] \ displaystyle p_n (x) = (x – a_1) (x – a_2) p_ {n – 2} (x) [/ matemáticas]

Aplicando esto una y otra vez, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle p_n (x) = (x – a_1) (x – a_2)… (x – a_n) [/ matemáticas]

lo que demuestra que un polinomio de enésimo grado con coeficientes complejos y tendrá n raíces. Sin embargo, eso no garantiza que todas las raíces sean únicas.

Aquí hay una forma intuitiva de pensarlo. Considere la ecuación cuadrática: [matemáticas] x ^ 2-2 = 0 [/ matemáticas]. Las soluciones son [matemáticas] x = \ sqrt {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] x = – \ sqrt {2} [/ matemáticas]. Puede escribir esto en forma factorizada como:

[matemáticas] (x- \ sqrt {2}) (x + \ sqrt {2}) = 0 [/ matemáticas].

Puedes ver que para una ecuación de segundo grado, habrá dos factores.

Ahora considere el polinomio de tercer grado:

[matemáticas] x ^ 3-6x ^ 2 + 11x-6 = 0 [/ matemáticas]

Las raíces son 1, 2 y 3, por lo que se puede factorizar en:

[matemáticas] (x-1) (x-2) (x-3) = 0 [/ matemáticas].

Entonces, debería ser un poco más claro por qué un polinomio de grado N tiene N raíces: tendrá N factores que deben multiplicarse para obtener un término [matemático] x ^ N [/ matemático].

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Para aquellos con antecedentes más avanzados, algunas de estas raíces pueden ser números complejos. Y también vienen en pares: las raíces de un polimonia tienen un número par de raíces complejas (incluyendo 0 raíces complejas). Por ejemplo, considere la ecuación simple:

[matemáticas] x ^ 2 + 9 = 0 [/ matemáticas]

Esto sería equivalente a:

[matemáticas] x ^ 2 = -9 [/ matemáticas]

Claramente, no hay soluciones reales para esto. Más bien, hay dos soluciones complejas:

[matemáticas] x = 3i [/ matemáticas] y [matemáticas] x = -3i [/ matemáticas]

Entonces esta ecuación podría factorizarse como:

[matemáticas] (x-3i) (x + 3i) = 0 [/ matemáticas]

A2A, gracias.

Si estamos hablando de coeficientes complejos y raíces complejas, entonces esta afirmación es el contenido del teorema fundamental del álgebra: Wikipedia.

supongamos que un grado polinomial p (x) tiene n raíces, entonces se puede escribir como:

P (x) = (x-x1) (x-x2) (x-x3) (x-x4)…. n veces (x1, x2, x3, x4 … son raíces)

dado que necesitamos igualar el grado tanto en el lado izquierdo como en el derecho, por lo tanto, el número de términos en el lado derecho no puede exceder más de n.

por lo tanto, el número de raíces debe ser n o menor que n.
Es aplicable para raíces reales y complejas.