Primero, proporciones directas
Cuando [math] y [/ math] es proporcional a [math] x, [/ math] a menudo se denota [math] y \ propto x. [/ Math]
Las proporciones fueron tratadas matemáticamente por primera vez por Eudoxus y su definición aparece en la definición 6. de Euclides Elementos Libro 6. Dice que dados dos valores de [matemáticas] x, [/ matemáticas] los llaman [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 , [/ math] y los dos valores correspondientes de [math] y, [/ math] los llaman [math] y_1 [/ math] y [math] y_2, [/ math] luego
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[matemáticas] y_1: y_2 = x_1: x_2 [/ matemáticas]
Esa es la proporción. Eudoxus tenía una manera de definirlos incluso cuando las magnitudes que representan [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son de diferentes tipos. Por ejemplo, [matemática] y [/ matemática] podría ser el área del sector de un círculo, mientras que [matemática] x [/ matemática] es el ángulo de ese sector. En proporciones tradicionales, solo se podían usar razones cuando los dos términos en la relación eran del mismo tipo. Podría tomar la relación de un ángulo a otro ángulo, pero las relaciones mixtas de un área a un ángulo estaban prohibidas. Ya no nos adherimos a esa restricción.
Si ignora los diferentes tipos de magnitudes y las trata a todas como números, puede escribir esa proporción como
[matemáticas] y_1 / y_2 = x_1 / x_2 [/ matemáticas]
Luego toma la forma alternativa
[matemáticas] y_1 / x_1 = y_2 / x_2 [/ matemáticas]
y llame a esa cantidad [math] k. [/ math] Luego, para cualquier valor de [math] x [/ math] y el valor correspondiente de [math] y [/ math] tenemos
[matemáticas] y / x = k [/ matemáticas]
que se puede escribir como
[matemáticas] y = kx [/ matemáticas]
Eso parece mucho más simple que una proporción real. Por lo tanto, [math] y \ propto x [/ math] significa que hay alguna constante [math] k [/ math] tal que [math] y = kx. [/ Math]
Ahora proporciones inversas
Las relaciones inversas se definieron en la definición 13 del Libro V de Euclides Elements . La inversa de la relación [matemáticas] x_2: x_1 [/ matemáticas] es [matemáticas] x_1: x_2. [/ Matemáticas] Para decir que [matemáticas] y [/ matemáticas] es inversamente proporcional a [matemática] x [/ matemática] significa
[matemáticas] y_1: y_2 = x_2: x_1 [/ matemáticas]
Nuevamente, tratando las magnitudes como números, podemos escribir eso como
[matemáticas] x_1y_1 = x_2y_2. [/ matemáticas]
Ahora, si llama a esa cantidad [math] k, [/ math] entonces para cualquier valor de [math] x [/ math] y el valor correspondiente de [math] y [/ math] tenemos
[matemáticas] xy = k [/ matemáticas]
o
[matemáticas] y = \ frac kx [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemática] y [/ matemática] es inversamente proporcional a [matemática] x [/ matemática] significa lo mismo que [matemática] y \ propto \ frac1x. [/ Matemática]
