¿Cómo pueden construirse los números reales a partir de los números racionales?

El problema con los números racionales es que tiene secuencias de Cauchy que no convergen, en otras palabras, el espacio no está completo.

Una secuencia de Cauchy es una secuencia de elementos en un espacio, aquí los racionales, de modo que la diferencia entre los términos se vuelve arbitrariamente pequeña a medida que n se hace grande.

Entonces, podríamos tener una secuencia de racionales que ‘quieren’ converger para decir pi, pero no pueden porque no existe en el mundo de los racionales.

Lo que podemos hacer en este caso es completar el espacio.

Esto significa que formamos una relación de equivalencia en el conjunto de secuencias de Cauchy en los racionales. Una relación de equivalencia es aquella que es reflexiva, transitiva y simétrica; divide un espacio en particiones disjuntas que capturan una propiedad que consideramos importante. Decimos que dos secuencias de Cauchy son equivalentes cuando la distancia entre los elementos en las secuencias va a cero a medida que n va al infinito.

Así que ahora afirmo que estas particiones de las secuencias racionales de Cauchy son de hecho reales. Las operaciones familiares de los reales se definen de forma natural, pero debe verificarse que las operaciones estén ‘bien definidas’, es decir, que no dependen de qué elemento de la partición que elija, digamos, agregar arriba con

A cada racional asociamos la secuencia constante de ese racional.

Por lo tanto, es un ejercicio tedioso pero simple para demostrar que es un campo.

A continuación, nos gustaría que se ordenara, y nuevamente hacemos lo natural: una partición es mayor que otra cuando, para algunos representantes de cada una, la diferencia es finalmente positiva. Nuevamente, debemos verificar que esto esté bien definido.

Entonces, tenemos un campo ordenado, para asegurarnos de que sean los reales, necesitamos que tenga la propiedad de límite superior mínimo: es decir, cada subconjunto no vacío que está limitado arriba tiene un límite mínimo en el campo.

Esta es la parte difícil, la idea es tomar un conjunto no vacío que contenga algún elemento, y acotado arriba, encontrar una secuencia de Cauchy cuyos términos sean todos los límites superiores para el conjunto, y encontrar una secuencia de Cauchy cuyos términos estén debajo del elemento. La clave es construir inductivamente los términos de las secuencias tomando el promedio o los puntos medios de los dos términos. La secuencia superior formada será la menos superior.

Este proceso de finalización de un espacio se puede hacer en situaciones más generales, y es especialmente fácil una vez que ya ha construido los reales para demostrar que efectivamente completa el espacio (debido a la propiedad de menor límite superior).

Para construir los números reales, uno necesita tener algún tipo de propiedad de “integridad” . Dos propiedades de integridad que se usan comúnmente son:

  1. La propiedad de Límite superior mínimo ( que es una propiedad de orden ) : el método de corte Dedekind utiliza esto.
  2. La propiedad de espacio métrico : el método de secuencia de Cauchy utiliza esto.

Esbozaré las ideas básicas detrás de los dos. Para más detalles, consulte cualquier libro de texto de análisis real estándar.

Método de corte Dedekind

Para la intuición básica detrás del método de corte Dedekind (es decir, la descripción de números reales), vea esta respuesta:

La respuesta de Nikhil Panikkar a ¿Es justo decir que el conjunto de reales es la unión de los conjuntos de racionales e irracionales?

Aquí esbozaré cómo se da vuelta esta intuición, para crear los números reales, a partir de los cortes de Dedekind. Esto requiere un enfoque axiomático.

  1. Toma el conjunto de números racionales. Defina los cortes de Dedekind como subconjuntos de [math] \ mathbb Q [/ math] con ciertos axiomas (estos axiomas están inspirados en la propiedad de Límite superior mínimo).
  2. El siguiente paso es definir la aritmética para los conjuntos Dedekind. Para hacer esto, defina una relación (orden) y suma y multiplicación en los cortes de Dedekind. Demuestre que los cortes de Dedekind dotados de esta relación y las dos operaciones comprenden un campo ordenado [matemático] F [/ matemático].
  3. Una vez que hemos definido la aritmética para los cortes de Dedekind, podemos construir fácilmente números reales a partir de ellos. Solo tenemos que demostrar que estos cortes están completos . Para esto, tenemos que demostrar que cada corte Dedekind [matemática] F [/ matemática] tiene un límite superior mínimo en [matemática] F [/ matemática]. Esta propiedad distingue los cortes de Dedekind del conjunto de números racionales y, por lo tanto, definimos / construimos los números reales.

Método de secuencias de Cauchy

La intuición detrás de este método es la idea de que los números reales se pueden expresar como límites de secuencias de Cauchy de números racionales.

Construcción:

  1. Defina el conjunto de todas las secuencias de Cauchy de números racionales.
  2. Defina una relación de equivalencia en el conjunto anterior. Para esto, use la idea de que dos secuencias convergentes tienden al mismo límite si y solo si su diferencia tiende a cero (es decir, las colas de las dos secuencias se juntan y se quedan juntas arbitrariamente).
  3. Usando 1 y 2, defina números reales como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales. Esto tiene que hacerse porque diferentes secuencias de Cauchy pueden converger al mismo número real. (Un buen ejemplo es el número trascendental [math] \ pi [/ math], que puede tener muchas representaciones de secuencia de Cauchy diferentes).

Una alternativa a la construcción con secuencias de Cauchy es usar cortes de Dedekind.

Un corte de Dedekind [matemática] (A, B) [/ matemática] es una separación de los racionales en dos subconjuntos A y B , de modo que A y B no se superpongan; A y B , juntos, contienen todos los racionales; ni A ni B están vacíos; cada elemento de A es menor que cada elemento de B ; y el conjunto A no contiene ningún elemento que sea mayor que cualquier otro elemento de A. Resulta que uno puede definir la suma, la multiplicación y la relación en el conjunto de cortes Dedekind, de modo que los cortes Dedekind satisfacen los axiomas de los números reales.

Primero, mostraré algunos ejemplos de cortes de Dedekind para dar una idea de cómo se corresponden con lo que intuitivamente consideramos números reales. En cada caso, puede pensar que el número real es la “cosa” en el límite entre A y B.

Ejemplo 1. Sea A los racionales negativos y B los racionales no negativos. Este es un corte de Dedekind porque A , B cubren todos los racionales; A , B no se superponen; todos los negativos son menos que todos los no negativos; y no hay mayor número negativo. Este corte corresponde al número real que escribimos como 0.

Ejemplo 2. Sea A los racionales negativos, junto con todos los racionales cuyos cuadrados son menores que 3; y deje que B sean todos los racionales positivos cuyos cuadrados sean mayores que 3. Está claro que A y B no se superponen. Porque no racional como un cuadrado igual a 3, A y B cubren todos los racionales. Y también es fácil probar los otros dos criterios de la definición de “corte Dedekind”. Este corte corresponde al número real que escribimos como [math] \ sqrt {3} [/ math].

Ejemplo 3. Tome una secuencia infinita de dígitos (decimales) [matemática] d_1, d_2, \ ldots [/ matemática]. Deje que el número racional [math] q_k [/ math] se defina como el número decimal [math] 0.d_1 d_2 \ cdots d_k [/ math]. Ahora deje que A consista en todos los racionales que son menores que cualquier [math] q_k [/ math], y deje que B consista en todos los racionales que son mayores o iguales a cada [math] q_k [/ math]. [matemática] (A, B) [/ matemática] es un corte de Dedekind, y corresponde al número real que escribimos como [matemática] 0.d_1 d_2 \ cdots [/ matemática].

Aquí están los axiomas de los números reales que deseamos construir:

  • Los números reales son un campo, lo que significa que la suma es un grupo abeliano; la multiplicación es un grupo abeliano en los números reales (excluyendo la identidad aditiva); y la suma y la multiplicación satisfacen el axioma distributivo que [matemática] r \ veces (s + t) = r \ veces s + r \ veces t [/ matemática].
  • Hay una relación [matemáticas]> [/ matemáticas] que satisface:
  • Tricotomía Para cada [math] r, s \ in \ mathbb {R} [/ math], precisamente uno de [math] r> s [/ math], [math] s> r [/ math] o [math] r = s [/ math] es cierto.
  • Compatibilidad con 0: Si [matemática] r, s> 0 [/ matemática], entonces [matemática] r + s> 0 [/ matemática].
  • Compatibilidad con la suma: Si [math] r> s [/ math], entonces [math] r + t> s + t [/ math].
  • Lo completo. (Este es el axioma que los racionales mismos no logran satisfacer.) Si un conjunto no vacío [matemático] R [/ matemático] de números reales tiene algún límite superior, entonces también tiene un límite superior más bajo. Formalmente, suponga que existe s tal que [math] s \ geq r [/ math] para cada [math] r \ in R [/ math]. Ahora considere el conjunto S de todos los números reales con esa propiedad. Entonces hay un elemento más bajo de S , lo que quiere decir que hay un elemento [math] \ sigma \ en S [/ math] tal que [math] s \ geq \ sigma [/ math] para todos [math] s \ en S [/ matemáticas].
  • No pasaré por las verificaciones de todos estos axiomas, pero sugeriré cómo definir [math] +, \ times,> [/ math] en los cortes de Dedekind para que puedan quedar satisfechos. Utilizo las anotaciones [math] + _ \ mathbb {Q}, \ times_ \ mathbb {Q},> _ \ mathbb {Q} [/ math] para sumar, multiplicar y mayor que en los racionales, que se toman como un hecho.

    Suma ([matemáticas] + [/ matemáticas]). Deje que [math] (A_1, B_1) [/ math] y [math] (A_2, B_2) [/ math] sean dos cortes de Dedekind. Definimos su suma [matemática] (A, B) [/ matemática] de la siguiente manera. A consta de todos los racionales q, de modo que hay algunos racionales [matemática] q_1 \ en A_1 [/ matemática] y [matemática] q_2 \ en A_2 [/ matemática] con [matemática] q <_ \ mathbb {Q} q_1 + _ \ mathbb {Q} q_2 [/ math]. B consiste en todos los demás racionales.

    Multiplicación ([matemáticas] \ veces [/ matemáticas]). Esto se define de manera muy similar a la suma.

    Mayor que ([matemáticas]> [/ matemáticas]). [matemática] (A_1, B_1)> (A_2, B_2) [/ matemática] iff [matemática] A_1 [/ matemática] contiene correctamente [matemática] A_2 [/ matemática]. (También es útil definir [matemáticas] \ geq [/ matemáticas], lo que significa que [matemáticas] (A_1, B_1)> (A_2, B_2) [/ matemáticas] o [matemáticas] (A_1, B_1) = (A_2 , B_2) [/ math]. Esto es equivalente a decir que [math] A_1 [/ math] contiene (no necesariamente correctamente) [math] A_2 [/ math].)

    Como dije, no pasaré por verificar que estas definiciones satisfagan todos los axiomas. Sin embargo, debido a que la integridad es la esencia de [math] \ mathbb {R} [/ math], esbozaré una prueba de integridad.

    Prueba de que los cortes de Dedekind, con [math]> [/ math] definidos anteriormente, están completos:
    Supongamos que [math] R [/ math] sea un conjunto no vacío de cortes de Dedekind, y supongamos que [math] R [/ math] tiene un límite superior, es decir que hay un corte de Dedekind [math] s = (A_s, B_s) [/ math] tal que [math] s> r [/ math] para cada [math] r \ in R [/ math]. Observe que, para cada [matemática] (A_r, B_r) \ en R [/ matemática], [matemática] A_r \ subconjunto A_s [/ matemática]. Nuestro objetivo es definir un corte Dedekind [math] (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] que es un límite superior en [math] R [/ math], y que de hecho es el límite superior más bajo en [ matemáticas] R [/ matemáticas]. Para este fin, definimos [math] \ sigma = (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] por [math] A_ \ sigma = \ bigcup_ {r \ in R} A_r [/ math] y [math ] B_ \ sigma = \ mathbb {Q} \ setminus A_ \ sigma [/ math].
    Primero debemos verificar que [math] (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] es un corte legítimo de Dedekind.

    • Según nuestra definición de [math] B_ \ sigma [/ math], está claro que [math] A_ \ sigma [/ math] y [math] B_ \ sigma [/ math] cubren los racionales, y que no se superponen .
    • [math] A_ \ sigma [/ math] no está vacío porque contiene al menos un [math] A_r [/ math] (usando el hecho de que [math] R [/ math] no está vacío) y porque [ math] A_r [/ math] no debe estar vacío. [math] B_ \ sigma [/ math] no está vacío porque contiene [math] B_s [/ math], que no está vacío.
    • [matemáticas] A_ \ sigma [/ matemáticas] no contiene ningún elemento más importante. Supongamos que [math] q [/ math] fuera el elemento más importante en [math] A_ \ sigma [/ math]. Por construcción de [math] A_ \ sigma [/ math], [math] q \ en A_r [/ math] para algunos [math] r [/ math]. Pero [math] A_r [/ math] no puede tener un gran elemento ya que [math] A_r [/ math] es un corte de Dekind, por lo que debe haber algo de [math] q ‘\ en A_r [/ math] con [math ] q ‘> _ \ mathbb {Q} q [/ math]. Pero entonces [math] q ‘\ en A_ \ sigma [/ math] también, contradiciendo la suposición de que [math] q [/ math] era el elemento más importante en [math] A_ \ sigma [/ math].
    • Cada elemento de [math] A_ \ sigma [/ math] es menor que cada elemento de [math] B_ \ sigma [/ math]. Suponga lo contrario, con [matemáticas] a> b [/ matemáticas]. Mediante la construcción de [math] A_ \ sigma [/ math], [math] a \ en A_r [/ math] para algunos [math] r \ in R [/ math]. Por la misma construcción, [math] b \ notin A_r [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] b \ en B_r [/ matemáticas]. Entonces, dado que [math] (A_r, B_r) [/ math] era un corte de Dekind, se deduce que [math] a b [/ math].

    Así que ahora hemos demostrado que [math] (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] es un corte de Dedekind.
    A continuación, mostramos que [math] (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] es un límite superior en [math] R [/ math], lo que significa que, para todos [math] (A_r, B_r) \ in R [/ matemáticas], [matemáticas] A_r \ subseteq A_ \ sigma [/ matemáticas]. Esto se deduce inmediatamente de nuestra definición de [matemáticas] A_ \ sigma [/ matemáticas].
    Finalmente, mostramos que [math] (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] es el límite superior más bajo en [math] R [/ math], lo que significa que si [math] (A_s, B_s) [/ math] tiene la propiedad de que [math] A_r \ subseteq A_s [/ math] para todos [math] A_r [/ math], luego [math] A_ \ sigma \ subseteq A_s [/ math] también. Esto también sigue muy rápidamente. Tome [math] q \ en A_ \ sigma [/ math]. Entonces [math] q \ en A_r [/ math] para algunos [math] r [/ math], entonces [math] q \ en A_s [/ math], según sea necesario.
    Esto completa la prueba de que los cortes de Dedekind, con [math]> [/ math] definido como arriba, satisfacen el Axioma de Completitud.

    Ya se han dado excelentes respuestas que detallan las construcciones mediante secuencias de Cauchy y mediante cortes de Dedekind. Otra forma es mediante el uso de fracciones continuas.

    camino 1. Racionales para los cortes Dedikind
    camino 2. Racionales a Cauchy Secuencias de racionales.

    Cualquier secuencia cauchy de racionales que no tiene un límite racional se identifica como un número real irracional.

    He leído la prueba en Baby Rudin.