Una alternativa a la construcción con secuencias de Cauchy es usar cortes de Dedekind.
Un corte de Dedekind [matemática] (A, B) [/ matemática] es una separación de los racionales en dos subconjuntos A y B , de modo que A y B no se superpongan; A y B , juntos, contienen todos los racionales; ni A ni B están vacíos; cada elemento de A es menor que cada elemento de B ; y el conjunto A no contiene ningún elemento que sea mayor que cualquier otro elemento de A. Resulta que uno puede definir la suma, la multiplicación y la relación en el conjunto de cortes Dedekind, de modo que los cortes Dedekind satisfacen los axiomas de los números reales.
Primero, mostraré algunos ejemplos de cortes de Dedekind para dar una idea de cómo se corresponden con lo que intuitivamente consideramos números reales. En cada caso, puede pensar que el número real es la “cosa” en el límite entre A y B.
Ejemplo 1. Sea A los racionales negativos y B los racionales no negativos. Este es un corte de Dedekind porque A , B cubren todos los racionales; A , B no se superponen; todos los negativos son menos que todos los no negativos; y no hay mayor número negativo. Este corte corresponde al número real que escribimos como 0.
Ejemplo 2. Sea A los racionales negativos, junto con todos los racionales cuyos cuadrados son menores que 3; y deje que B sean todos los racionales positivos cuyos cuadrados sean mayores que 3. Está claro que A y B no se superponen. Porque no racional como un cuadrado igual a 3, A y B cubren todos los racionales. Y también es fácil probar los otros dos criterios de la definición de “corte Dedekind”. Este corte corresponde al número real que escribimos como [math] \ sqrt {3} [/ math].
Ejemplo 3. Tome una secuencia infinita de dígitos (decimales) [matemática] d_1, d_2, \ ldots [/ matemática]. Deje que el número racional [math] q_k [/ math] se defina como el número decimal [math] 0.d_1 d_2 \ cdots d_k [/ math]. Ahora deje que A consista en todos los racionales que son menores que cualquier [math] q_k [/ math], y deje que B consista en todos los racionales que son mayores o iguales a cada [math] q_k [/ math]. [matemática] (A, B) [/ matemática] es un corte de Dedekind, y corresponde al número real que escribimos como [matemática] 0.d_1 d_2 \ cdots [/ matemática].
Aquí están los axiomas de los números reales que deseamos construir:
- Los números reales son un campo, lo que significa que la suma es un grupo abeliano; la multiplicación es un grupo abeliano en los números reales (excluyendo la identidad aditiva); y la suma y la multiplicación satisfacen el axioma distributivo que [matemática] r \ veces (s + t) = r \ veces s + r \ veces t [/ matemática].
- Hay una relación [matemáticas]> [/ matemáticas] que satisface:
- Tricotomía Para cada [math] r, s \ in \ mathbb {R} [/ math], precisamente uno de [math] r> s [/ math], [math] s> r [/ math] o [math] r = s [/ math] es cierto.
- Compatibilidad con 0: Si [matemática] r, s> 0 [/ matemática], entonces [matemática] r + s> 0 [/ matemática].
- Compatibilidad con la suma: Si [math] r> s [/ math], entonces [math] r + t> s + t [/ math].
Lo completo. (Este es el axioma que los racionales mismos no logran satisfacer.) Si un conjunto no vacío [matemático] R [/ matemático] de números reales tiene algún límite superior, entonces también tiene un límite superior más bajo. Formalmente, suponga que existe s tal que [math] s \ geq r [/ math] para cada [math] r \ in R [/ math]. Ahora considere el conjunto S de todos los números reales con esa propiedad. Entonces hay un elemento más bajo de S , lo que quiere decir que hay un elemento [math] \ sigma \ en S [/ math] tal que [math] s \ geq \ sigma [/ math] para todos [math] s \ en S [/ matemáticas].
No pasaré por las verificaciones de todos estos axiomas, pero sugeriré cómo definir [math] +, \ times,> [/ math] en los cortes de Dedekind para que puedan quedar satisfechos. Utilizo las anotaciones [math] + _ \ mathbb {Q}, \ times_ \ mathbb {Q},> _ \ mathbb {Q} [/ math] para sumar, multiplicar y mayor que en los racionales, que se toman como un hecho.
Suma ([matemáticas] + [/ matemáticas]). Deje que [math] (A_1, B_1) [/ math] y [math] (A_2, B_2) [/ math] sean dos cortes de Dedekind. Definimos su suma [matemática] (A, B) [/ matemática] de la siguiente manera. A consta de todos los racionales q, de modo que hay algunos racionales [matemática] q_1 \ en A_1 [/ matemática] y [matemática] q_2 \ en A_2 [/ matemática] con [matemática] q <_ \ mathbb {Q} q_1 + _ \ mathbb {Q} q_2 [/ math]. B consiste en todos los demás racionales.
Multiplicación ([matemáticas] \ veces [/ matemáticas]). Esto se define de manera muy similar a la suma.
Mayor que ([matemáticas]> [/ matemáticas]). [matemática] (A_1, B_1)> (A_2, B_2) [/ matemática] iff [matemática] A_1 [/ matemática] contiene correctamente [matemática] A_2 [/ matemática]. (También es útil definir [matemáticas] \ geq [/ matemáticas], lo que significa que [matemáticas] (A_1, B_1)> (A_2, B_2) [/ matemáticas] o [matemáticas] (A_1, B_1) = (A_2 , B_2) [/ math]. Esto es equivalente a decir que [math] A_1 [/ math] contiene (no necesariamente correctamente) [math] A_2 [/ math].)
Como dije, no pasaré por verificar que estas definiciones satisfagan todos los axiomas. Sin embargo, debido a que la integridad es la esencia de [math] \ mathbb {R} [/ math], esbozaré una prueba de integridad.
Prueba de que los cortes de Dedekind, con [math]> [/ math] definidos anteriormente, están completos:
Supongamos que [math] R [/ math] sea un conjunto no vacío de cortes de Dedekind, y supongamos que [math] R [/ math] tiene un límite superior, es decir que hay un corte de Dedekind [math] s = (A_s, B_s) [/ math] tal que [math] s> r [/ math] para cada [math] r \ in R [/ math]. Observe que, para cada [matemática] (A_r, B_r) \ en R [/ matemática], [matemática] A_r \ subconjunto A_s [/ matemática]. Nuestro objetivo es definir un corte Dedekind [math] (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] que es un límite superior en [math] R [/ math], y que de hecho es el límite superior más bajo en [ matemáticas] R [/ matemáticas]. Para este fin, definimos [math] \ sigma = (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] por [math] A_ \ sigma = \ bigcup_ {r \ in R} A_r [/ math] y [math ] B_ \ sigma = \ mathbb {Q} \ setminus A_ \ sigma [/ math].
Primero debemos verificar que [math] (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] es un corte legítimo de Dedekind.
- Según nuestra definición de [math] B_ \ sigma [/ math], está claro que [math] A_ \ sigma [/ math] y [math] B_ \ sigma [/ math] cubren los racionales, y que no se superponen .
- [math] A_ \ sigma [/ math] no está vacío porque contiene al menos un [math] A_r [/ math] (usando el hecho de que [math] R [/ math] no está vacío) y porque [ math] A_r [/ math] no debe estar vacío. [math] B_ \ sigma [/ math] no está vacío porque contiene [math] B_s [/ math], que no está vacío.
- [matemáticas] A_ \ sigma [/ matemáticas] no contiene ningún elemento más importante. Supongamos que [math] q [/ math] fuera el elemento más importante en [math] A_ \ sigma [/ math]. Por construcción de [math] A_ \ sigma [/ math], [math] q \ en A_r [/ math] para algunos [math] r [/ math]. Pero [math] A_r [/ math] no puede tener un gran elemento ya que [math] A_r [/ math] es un corte de Dekind, por lo que debe haber algo de [math] q ‘\ en A_r [/ math] con [math ] q ‘> _ \ mathbb {Q} q [/ math]. Pero entonces [math] q ‘\ en A_ \ sigma [/ math] también, contradiciendo la suposición de que [math] q [/ math] era el elemento más importante en [math] A_ \ sigma [/ math].
- Cada elemento de [math] A_ \ sigma [/ math] es menor que cada elemento de [math] B_ \ sigma [/ math]. Suponga lo contrario, con [matemáticas] a> b [/ matemáticas]. Mediante la construcción de [math] A_ \ sigma [/ math], [math] a \ en A_r [/ math] para algunos [math] r \ in R [/ math]. Por la misma construcción, [math] b \ notin A_r [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] b \ en B_r [/ matemáticas]. Entonces, dado que [math] (A_r, B_r) [/ math] era un corte de Dekind, se deduce que [math] a b [/ math].
Así que ahora hemos demostrado que [math] (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] es un corte de Dedekind.
A continuación, mostramos que [math] (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] es un límite superior en [math] R [/ math], lo que significa que, para todos [math] (A_r, B_r) \ in R [/ matemáticas], [matemáticas] A_r \ subseteq A_ \ sigma [/ matemáticas]. Esto se deduce inmediatamente de nuestra definición de [matemáticas] A_ \ sigma [/ matemáticas].
Finalmente, mostramos que [math] (A_ \ sigma, B_ \ sigma) [/ math] es el límite superior más bajo en [math] R [/ math], lo que significa que si [math] (A_s, B_s) [/ math] tiene la propiedad de que [math] A_r \ subseteq A_s [/ math] para todos [math] A_r [/ math], luego [math] A_ \ sigma \ subseteq A_s [/ math] también. Esto también sigue muy rápidamente. Tome [math] q \ en A_ \ sigma [/ math]. Entonces [math] q \ en A_r [/ math] para algunos [math] r [/ math], entonces [math] q \ en A_s [/ math], según sea necesario.
Esto completa la prueba de que los cortes de Dedekind, con [math]> [/ math] definido como arriba, satisfacen el Axioma de Completitud.