Krzysztof Kacprzyk y Bruno Visnadi no me han dejado mucho que añadir.
Desde
[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3 – 3ab (a + b), c ^ 3 + d ^ 3 = (c + d) ^ 3 – 3cd (c + d), [ /matemáticas]
- Si [math] x ^ 2-3x + 1 = 0 [/ math], ¿cuál es el valor de [math] x ^ 2 + {\ large \ frac {1} {x ^ 2}} [/ math]?
- ¿Qué es un número natural n tal que [math] \ sqrt {n + \ sqrt {n + 7}} \ in \ N [/ math]
- ¿Qué hace que las matemáticas sean tan exitosas para describir la naturaleza y hacer predicciones sobre la naturaleza?
- Alguien ha encontrado recientemente una nueva prueba del último teorema de Fermat para n = 3, ¿cómo puede esto aumentar sus posibilidades de admisión de pregrado en Oxbridge?
- ¿Cómo podrían las matemáticas de los extraterrestres diferir de la nuestra?
[matemáticas] a + b = c + d, a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3 + d ^ 3 [/ matemáticas]
concluimos, al restar, que
[matemáticas] 0 = (a ^ 3 + b ^ 3) – (c ^ 3 + d ^ 3) = 3 (ab-cd) (a + b) [/ matemáticas].
Si [matemáticas] a + b = 0 = c + d [/ matemáticas], entonces [matemáticas] a ^ {2n-1} + b ^ {2n-1} = 0 = c ^ {2n-1} + d ^ {2n-1} [/ math], ya que [math] (x + y) \ mid (x ^ {2n-1} + y ^ {2n-1}) [/ math] para cualquier [math] n \ in \ mathbb N. [/ math]
De lo contrario [math] ab = cd [/ math]; suponga que [matemática] a ^ k + b ^ k = c ^ k + d ^ k [/ matemática] para [matemática] k \ in \ {1,2,3, \ ldots, n \} [/ matemática]. Luego
[matemáticas] a ^ {n + 1} + b ^ {n + 1} = (a + b) (a ^ n + b ^ n) – ab (a ^ {n-1} + b ^ {n-1 }) [/matemáticas]
[matemáticas] = (c + d) (c ^ n + d ^ n) – cd (c ^ {n-1} + d ^ {n-1}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = c ^ {n + 1} + d ^ {n + 1} [/ matemáticas].
Como [matemática] a ^ k + b ^ k = c ^ k + d ^ k [/ matemática] es válida para [matemática] k = 1 [/ matemática], la prueba de que [matemática] a ^ n + b ^ n = c ^ n + d ^ n [/ math] para [math] n \ in \ mathbb N [/ math] se completa por inducción matemática . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
