Primero, debemos considerar los lugares donde podemos hacer la distinción. Supongamos que estamos escribiendo ecuaciones para varios objetos geométricos. Por ejemplo:
una línea: [matemáticas] y = mx + b [/ matemáticas]
un plano: [math] ax + by + cz = d [/ math]
una parábola vertical: [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática]
un círculo centrado en el origen: [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas].
Hablando intuitivamente si estamos interesados en hablar de uno solo de estos objetos, cuando usamos las letras [matemáticas] a, b, c, r [/ matemáticas] tomarán solo un valor, pero las letras [matemáticas] x , y, z [/ math] tomará muchos valores posibles.
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Podemos formalizar esta intuición utilizando los cuantificadores lógicos, “existe” [matemática] \ existe [/ matemática] y “para todos” [matemática] \ forall [/ matemática]. Es desafortunado que generalmente no se les enseñe hasta bien entrado en el plan de estudios de matemáticas, ya que se usan implícitamente al describir objetos geométricos o hacer cálculos.
Considere la declaración:
Para cualquier círculo centrado en el origen [matemática] C [/ matemática] existe un número real positivo [matemática] r [/ matemática] tal que para todos los números reales [matemática] x, y [/ matemática] donde [matemática] (x , y) \ en C [/ math] sostiene que [math] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ math]. ([math] \ in [/ math] se puede leer como “miembro de” o “in”. [math] \ mathbb {R} [/ math] es el conjunto de números reales).
Podemos escribir esto con símbolos como:
[matemática] \ forall C \ en Circ_0, \ exist r \ in \ mathbb {R} ^ +, \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ forall y \ in \ mathbb {R}, [/ math] [ math] (x, y) \ en C \ rightarrow x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ math].
Leemos los cuantificadores de izquierda a derecha, por lo que leemos la declaración que significa que no importa qué círculo elijamos, la declaración a la derecha de [math] \ forall C \ en Circ_0 [/ math] siempre es verdadera. Habiendo fijado [math] C [/ math] como un círculo arbitrario, ahora podemos leer la subestación a la derecha del primer cuantificador. Aquí vemos [math] \ exist r \ in \ mathbb {R} ^ + [/ math] que nos dice que todo a la derecha es verdadero para al menos un número real positivo. Podemos leer los dos últimos cuantificadores como lo hicimos con el primero.
En este ejemplo, [math] x [/ math] y [math] y [/ math] (y [math] C [/ math]) se consideraron variables porque la declaración a la derecha de [math] \ forall [/ math ] es cierto sin importar el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas] o [matemáticas] y [/ matemáticas] que elijamos. [math] r [/ math] se consideró una constante porque solo estamos afirmando que sabemos que habrá algún valor para el cual la afirmación de la derecha es verdadera.
En ambos casos, necesitamos utilizar marcadores de posición, pero por diferentes razones. En los casos [math] x [/ math] y [math] y [/ math] necesitamos un marcador de posición porque queremos hablar sobre muchos valores posibles en una sola declaración. En el caso de [math] r [/ math], [math] r [/ math] será un valor único. Sin embargo, necesitamos un marcador de posición para [math] r [/ math] porque no sabemos qué valor tomará [math] r [/ math] ya que depende de qué círculo [math] C [/ math] sea.
Si bien es importante establecer explícitamente sus cuantificadores al establecer teoremas, es engorroso pensar en ellos al hacer matemática simbólica. En cambio, solo adoptamos reglas sobre cómo lidiar con las diferencias cuando es importante.
En la práctica, al hacer álgebra, generalmente podemos tratar variables y constantes de manera similar porque de todos modos estamos interesados en resolver un valor particular. Sin embargo, en el cálculo debemos ser muy cuidadosos acerca de qué es una variable y qué es una constante.
