Introducción editada.
Cuando decimos ‘factorizar’, normalmente implicamos encontrar factores de la expresión no factorizada que son funciones de las variables que aparecen en la expresión, como por ejemplo a² – b² = (a + b) (ab). En este sentido, como los otros respondedores han señalado correctamente, la factorización de a² + b² solo es posible en el ámbito de los números complejos. Si, por otro lado, incluiremos la búsqueda de cualquier factor, entonces …
Ciertamente podemos factorizar a² + b²: Pitágoras de Samos (580 – 496 a. C.) lo sabían hace más de 2.500 años y para los babilonios hay evidencia de que lo sabían 1000 años antes de Pitágoras.
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Tome cualquier triángulo rectángulo y nombre a, b los dos lados que forman el ángulo recto yc el lado opuesto (la hipotenusa), luego el área del cuadrado con el lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados con los lados ay b .
a² + b² = c²
Por lo tanto, siempre puede factorizar a² + b² , una de las posibilidades infinitas es que los factores son iguales, c₁ = c₂ = √ (a² + b²) .
Cualquier otra m, n donde m * n = c² servirá, simplemente no espere que m, n y c sean siempre enteros positivos para enteros positivos a, b .
Ejemplos:
- Los triples pitagóricos son aquellos conjuntos de tres números naturales a, b, c, para los cuales a² + b² = c² .
- Para a = 7 yb = 11 , a² + b² = 170 = 17 * 10 (es posible la factorización con números enteros)
- Para a = 7 yb = 12 , a² + b² = 193 (primo, no es posible la factorización con enteros).
