¿Por qué la identidad, [matemática] \ sec (\ tan ^ {- 1} x) = \ sqrt {1 + x ^ 2} [/ matemática], solo es válida en [matemática] [- 1,1] [/ matemática ]?

¿Es?

[matemáticas] x = \ sqrt 3 \ notin [-1, 1] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sec \ arctan \ sqrt 3 = \ sec \ frac {\ pi} {3} = 2 [/ matemáticas]

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[matemáticas] \ sqrt {1 + (\ sqrt 3) ^ 2} = \ sqrt {1 + 3} = \ sqrt 4 = 2 [/ matemáticas]

Debes haber mezclado algo. La identidad que proporcionó es válida para todos los valores reales [matemática] x [/ matemática].

Parece que se necesita una explicación ampliada.

[matemáticas] \ tan ^ 2 t = \ frac {\ sin ^ 2 t} {\ cos ^ 2 t} = \ frac {1 – \ cos ^ 2 t} {\ cos ^ 2 t} = \ frac {1} {\ cos ^ 2 t} – 1 = \ sec ^ 2 t – 1 [/ math]
[matemática] \ sec ^ 2 t = 1 + \ tan ^ 2 t [/ matemática]
[matemáticas] \ seg t = \ pm \ sqrt {1 + \ tan ^ 2 t} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que en el rango de [matemáticas] t \ in \ left (- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ math] el signo menos en la expresión anterior no aplicar. También tenga en cuenta que este rango particular también representa todos los valores posibles que puede obtener la función arcotangente, y la función arcotangente se define sobre el conjunto completo de números reales.
Reemplazando [math] t [/ math] con [math] \ arctan x [/ math], obtenemos
[matemática] \ sec \ arctan x = \ sqrt {1 + \ tan ^ 2 \ arctan x} = \ sqrt {1 + x ^ 2} [/ math]

QED En ninguna parte asumimos que [math] x [/ math] debe limitarse a cualquier otro intervalo que no sea el conjunto de números reales.

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Esta identidad es consecuencia de otra identidad:

[matemáticas] tan ^ 2 (x) + 1 = \ seg ^ 2 (x) [/ matemáticas]

Esa identidad es realmente verdadera para cualquier [matemática] x [/ matemática] para la cual se define [matemática] tan [/ matemática] (y [matemática] seg [/ matemática]). Por definición [math] tan (x) = \ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)} [/ math] y [math] \ sec (x) = \ frac {1} {\ cos (x )} [/ math] para que ambos estén definidos cuando [math] \ cos (x) \ neq 0 [/ math] y esto es cuando [math] x \ neq \ frac {2k + 1} {2} \ pi [ / math], es decir, cuando [math] x [/ math] no es [math] \ frac {s} {2} \ pi [/ math] para algún número entero impar.

La prueba es bastante simple. Si [math] x [/ math] es tal que [math] \ cos (x) \ neq 0 [/ math] entonces:

[matemáticas] 1 + \ tan (x) = 1 + \ frac {\ sin ^ 2 (x)} {\ cos ^ 2 (x)} = \ frac {sin ^ 2 (x) + \ cos ^ 2 (x )} {\ cos ^ 2 (x)} = \ frac {1} {\ cos ^ 2 (x)} = \ sec ^ 2 (x) [/ math]

Con este resultado ahora podemos calcular [math] \ sec (\ arctan (x)) [/ math]. De nuevo, si [math] \ cos (x) \ neq 0 [/ math] entonces:

[matemáticas] \ seg (\ arctan (x)) = \ sqrt {1+ \ tan ^ 2 (\ arctan (x))} = \ sqrt {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, es falso, la identidad que solicita solo es cierta en [matemáticas] [- 1,1] [/ matemáticas]. Es cierto para cualquier [matemática] x [/ matemática] para la cual [matemática] \ cos (x) \ neq 0 [/ matemática].

Zachary Chaney

Se considera que solo es válido en ese rango, porque [math] sin ^ {- 1} [/ math] generalmente solo se define en el dominio [-1,1] y el [math] cos ^ {- 1} [/ math] generalmente solo se define en el rango [-1,1]. Esto se debe a que, fuera de estas restricciones, las funciones ya no tienen un valor único en y (es decir, 1 valor de x puede corresponder a varios valores de y). Sin embargo, uno no necesariamente necesita prestar atención a estas restricciones, la función misma producirá resultados válidos fuera de este rango. Esto se debe a que hay muchas formas de generalizar la función más allá de lo que es posible en el nivel básico.

Zachary Chaney

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