Este es uno de los teoremas más significativos de las matemáticas modernas, y realmente no es el resultado de una topología algebraica específicamente, sino más bien un puente entre la topología algebraica y la geometría diferencial.
Esto se debe a que el teorema relaciona una cantidad topológica, la característica de Euler de una superficie, con una cantidad analítica, la suma de los índices de un campo vectorial en la superficie. Aquí hay realmente dos declaraciones, las cuales son interesantes. La primera es que la suma de los índices de un campo vectorial es * siempre igual * independientemente del campo vectorial (manteniendo la superficie fija). La segunda es que esta suma fija no solo es fija, sino que es, de hecho, una poderosa invariante topológica.
Para entender esto, necesitamos entender qué es un índice de un campo vectorial. Dado un campo vectorial suave y una curva cerrada, podemos imaginar que el campo asigna continuamente un vector a cada punto de la curva. Debido a la suavidad del campo vectorial, estos vectores asignados a la curva fija experimentan un movimiento continuo a medida que uno atraviesa la curva. Por lo tanto, podemos (informalmente) definir el número de bobinado del campo vectorial a lo largo de la curva como el número de revoluciones totales (positivas o negativas) producidas por estos vectores adjuntos cuando uno completa un solo viaje alrededor de la curva.
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Un * índice * de un campo vectorial es simplemente el número de bobinado del campo vectorial a lo largo de un pequeño circuito cerrado centrado en un * punto crítico * del campo, es decir, un punto donde el campo es cero.
Es fácil comprender visualmente una forma más débil del teorema de Poincare-Hopf, como muestra la siguiente imagen:
Dada una curva cerrada que contiene puntos críticos en su interior pero no los intersecta, esta imagen sugiere fuertemente que el número de bobinado del campo vectorial alrededor de la curva es igual a la suma de los índices de los puntos críticos dentro de la curva. El teorema de Poincare-Hopf es una versión mucho más poderosa y general de esta observación que relaciona la suma de todos los índices de un campo vectorial liso en una superficie (de topología potencialmente no trivial) con una invariante topológica de esa superficie, la característica de Euler.
Como ejemplo, demostremos el famoso teorema de la bola peluda, que establece que no se puede peinar perfectamente una esfera cubierta de pelo. Más precisamente, la afirmación es que cualquier campo vectorial uniforme en la esfera tiene al menos un punto crítico. Según el teorema de Poincare-Hopf, esto seguiría de inmediato si la característica de Euler de la esfera no fuera cero, ya que la suma de los índices de cualquier campo vectorial de este tipo no sería vacia. Y, de hecho, la característica de Euler de una esfera es 2, como se puede verificar fácilmente usando la famosa fórmula V-E + F (aproximando la esfera como un cubo y confiando en el hecho de que la característica de Euler es una invariante topológica).
[Fuente de la imagen: página en math.uwo.ca]
