En un problema como este, donde tenemos que demostrar que [matemáticas] x, \, y \ text {y} z [/ matemáticas] están en progresión armónica, es suficiente demostrar que [matemáticas] y [/ matemáticas] es la media armónica de [matemáticas] x \ text {y} z [/ matemáticas] para las restricciones dadas.
[matemáticas] \ implica y = \ dfrac {2xz} {x + z} [/ matemáticas]
Ahora para este problema, la restricción es [matemáticas] a ^ 2, \, b ^ 2 \ text {y} c ^ 2 [/ matemáticas] están en progresión aritmética o
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[matemáticas] 2b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 [/ matemáticas].
Ahora agregue [math] 2ab + 2bc + 2ac [/ math] en ambos lados de esta ecuación,
[matemáticas] \ implica 2b ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ac = a ^ 2 + 2ab + c ^ 2 + 2ac + 2bc [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 2 (a + b) (b + c) = (a + 2b + c) (a + c) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ dfrac {2 (a + b) (b + c)} {(a + b) + (b + c)} = a + c [/ matemáticas]
[math] \ implica (b + c), \, (c + a) \ text {y} (a + b) [/ math] están en progresión armónica.
