Sé que dijiste sin Schroeder-Bernstein, pero aquí hay una prueba con Schroder-Bernstein porque sinceramente no tengo idea de cómo hacerlo sin él …
1) Tenga en cuenta que los reales están en biyección con el intervalo [0,1]. Esto es bien conocido, así que vamos a biject [0,1] con el conjunto de potencia de N.
2) considere una expansión binaria de x real en [0,1] especificando que tiene 0.01111 … en lugar de 0.10000 … en todos los casos (espero que entienda lo que quiero decir, realmente no sé cómo decirlo, básicamente sacar la ambigüedad en la expansión binaria)
3) Podemos construir un subconjunto de N a partir de x diciendo que si el enésimo bit más significativo de la expansión de x desde 2) es 1, n está en el conjunto y si el enésimo bit más significativo es 0, n no está en el conjunto . Esto es claramente una inyección.
4) Para construir una inyección del conjunto de potencias de N a [0,1], use ternario: el conjunto S corresponde al número tal que el enésimo trit más significativo (¿es una palabra?) Es 1 si n está en S y 0 si n no es Esto también es claramente una inyección.
Dos inyecciones hacen una biyección, y puede ver pruebas semi-constructivas de schroder-bernstein para tener una mejor idea de cómo se ve la biyección.
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