Un pseudovector (también conocido como vector axial) como un vector tiene una colección de componentes, o una dirección y magnitud. A diferencia de un vector estándar, cambia su dirección cuando refleja el espacio en el que se encuentra.
Por ejemplo, los pseudovectores son lo que obtienes cuando cruzas dos vectores de producto en [math] R ^ 3 [/ math]. Hay dos formas de obtener un vector que es perpendicular a otros dos, y es una cuestión de convención cuál elegir. Esto se conoce como la regla de la mano derecha. Nos da eso
[matemáticas] i \ veces j = k, j \ veces k = i, k \ veces i = j [/ matemáticas]
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Dado que el producto cruzado es anticomutivo, los signos cambian si cambiamos el orden.
[matemáticas] j \ veces i = -k, k \ veces j = -i, i \ veces k = -j [/ matemáticas]
Ahora si cambiamos nuestro sistema de coordenadas para que reflejemos el primer componente
[matemáticas] i \ mapsto -i [/ matemáticas]
Vemos que también volteamos el signo del producto cruzado, que lo voltea al revés. Esto también es lo mismo que obtenemos si intercambiamos el orden en que los cruzamos juntos
[matemáticas] i \ veces j = k \ mapasto -i \ veces j = j \ veces i = -k [/ matemáticas]
Un bivector puede considerarse como un par ordenado de vectores. Geométricamente puede ser representado por el paralelogramo que se extiende por los 2 vectores componentes. Podemos construirlo haciendo el producto exterior (cuña) de dos vectores
[matemáticas] P = u \ wedge v [/ matemáticas]
Es natural querer saber la dirección normal de un bivector. El objeto que es perpendicular a él. No es sorprendente que esta dirección normal sea lo mismo que el producto cruzado, y al igual que el producto cruzado tenemos una cuestión de convención ya que el paralelogramo es de dos lados.
El producto cruzado de dos vectores es lo mismo que la doble combinación del producto exterior de dos vectores.
[matemáticas] u \ veces v = \ estrella (u \ cuña v) [/ matemáticas]
Esto muestra que hay un isomorfismo (The hodge star) entre bivectors en [math] R ^ 3 [/ math] y pseudovectors en [math] R ^ 3 [/ math].
