La declaración del teorema de Gauss, también conocido como teorema de divergencia.
Hay varias notaciones para el teorema de Gauss. Usaré una de las anotaciones estándar.
Para este teorema, dejemos que [math] D [/ math] sea una región tridimensional con límite [math] \ partial D [/ math]. Este límite [matemática] \ parcial D [/ matemática] será una o más superficies, y todas deben estar orientadas de la misma manera, lejos de [matemática] D [/ matemática]. El requisito sobre [matemática] \ parcial D [/ matemática] es que sea compacto y liso por partes. Sea [math] \ bf F [/ math] un campo vectorial continuamente diferenciable en [math] \ mathbf R ^ 3 [/ math]. El teorema de Gauss equivale a una integral de superficie sobre [matemática] \ parcial D [/ matemática] con una integral triple sobre [matemática] D [/ matemática]. Dice que la integral de [matemática] \ bf F [/ matemática] sobre [matemática] \ parcial D [/ matemática] es igual a la divergencia de [matemática] \ bf F [/ matemática] sobre la región [matemática] D [/ matemáticas]:
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[matemáticas] \ displaystyle \ iint _ {\ parcial D} {\ bf F} \ cdot d {\ bf S} = \ iiint_D \ nabla \ cdot {\ bf F} \, dV [/ math].
La primera integral también se puede escribir
[matemáticas] \ displaystyle \ iint _ {\ parcial D} {\ bf F} \ cdot \ mathbf n \, dS [/ math]
donde [math] \ mathbf n [/ math] es la señalización normal hacia afuera de la superficie [math] \ partial D [/ math].
Una interpretación del teorema de Gauss
Si [math] {\ bf F} ({\ bf x}) [/ math] es la velocidad de un fluido en [math] \ bf x [/ math], entonces el teorema de Gauss dice que la divergencia total dentro del 3- región dimensional [matemática] D [/ matemática] es igual al flujo a través del límite [matemática] \ parcial D [/ matemática]. La divergencia en [math] \ bf x [/ math] puede pensarse en la tasa de expansión del fluido en [math] \ bf x [/ math].
¿Hay casos excepcionales?
Los requisitos se dan en la declaración. El más importante es que el límite sea compacto. Si no es así, entonces el flujo podría escapar al infinito para que no toda la expansión tenga que pasar por el límite. El límite tiene que ser suave para que la integral doble tenga sentido. El campo vectorial también tiene que ser diferenciable, ya que si no, el flujo podría aparecer o desaparecer en las singularidades del campo vectorial.
