Debe tener un poco de cuidado al relacionar “demostrable” con “verdadero”. “Probable” se refiere a un sistema axiomático (llamado “teoría”); “verdadero” es relativo a un modelo de esa teoría.
Por ejemplo, los axiomas de Peano son una teoría de primer orden de la aritmética; [math] \ mathbb {N} [/ math] es un modelo de esa teoría. Por lo general, hay muchos modelos de una teoría dada, incluso si tenemos un modelo canónico en mente al crear la teoría.
Las afirmaciones que son demostrables en una teoría son verdaderas en cada modelo de esa teoría, pero lo contrario no es cierto. Entonces, hay algunos hechos verdaderos en [math] \ mathbb {N} [/ math] que no son ciertos en algunos otros modelos de aritmética de Peano, y viceversa. (Ver modelos no estándar de aritmética). Esto significa que estos hechos no son demostrables a partir de los axiomas de Peano.
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Pero los teoremas de incompletitud dicen más; dicen que hay hechos verdaderos en cada modelo de una teoría que no son demostrables en esa teoría.