Creo que la forma más fácil de ver esto es calcular la homología celular de una estructura compleja CW para la botella de Klein. Identifiquemos [matemática] S ^ 1 [/ matemática] con el círculo unitario en el plano complejo, [matemática] S ^ 1 = \ {e ^ {it} [/ matemática] [matemática]: t \ in [0,2 \ pi) \} [/ matemáticas]. Una construcción de la botella de Klein es unir los dos componentes de límite de un cilindro a través de un mapa de grado [matemático] -1 [/ matemático]. Explícitamente,
[matemática] K = S ^ 1 \ veces [0,1] / ((e ^ {it}, 0) \ sim (e ^ {- it}, 1)) [/ math].
No es difícil demostrar que el resultado es homeomorfo al siguiente complejo CW: hay una sola celda [matemática] 0 [/ matemática], [matemática] P [/ matemática], y adjuntamos dos [matemática] 1 [/ matemática] -células, llámelas [matemática] A, B [/ matemática]. El esqueleto [matemático] 1 [/ matemático] [matemático] X_1 [/ matemático] resultante es homeomorfo a [matemático] S ^ 1 \ vee S ^ 1 [/ matemático]. Escribamos [matemática] a, b [/ matemática] para los bucles en [matemática] \ pi_1 (X_1, P) [/ matemática] que atraviesan [matemática] A, B [/ matemática] (respectivamente) una vez, a velocidad constante , en la dirección de sus orientaciones. Finalmente, adjunte una celda [math] 2 [/ math] a esto a través de la palabra [math] abab ^ {- 1} \ in \ pi_1 (X_1, P) [/ math]. En otras palabras, a medida que caminamos [matemática] \ parcial D ^ 2 [/ matemática], la imagen debajo del mapa adjunto hace lo siguiente:
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- comienza en [matemáticas] P [/ matemáticas], camina alrededor de [matemáticas] A [/ matemáticas], volviendo a [matemáticas] P [/ matemáticas];
- camina alrededor de [matemáticas] B [/ matemáticas], volviendo a [matemáticas] P [/ matemáticas];
- camina alrededor de [matemáticas] A [/ matemáticas] nuevamente, volviendo a [matemáticas] P [/ matemáticas];
- camina hacia atrás alrededor de [matemáticas] B [/ matemáticas], finalmente regresa a [matemáticas] P [/ matemáticas].
Lo siento, no tengo una foto para insertar aquí. La página de Wikipedia La botella de Klein tiene una buena imagen. Sus segmentos azules son [matemática] A [/ matemática], sus segmentos rojos son [matemática] B [/ matemática], y comenzamos nuestra caminata desde la esquina superior derecha (aunque, por supuesto, las cuatro esquinas son el mismo punto )
El complejo de la cadena celular resultante es fácil de describir:
[matemática] 0 \ rightarrow \ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z} ^ 2 \ rightarrow \ mathbb {Z} \ rightarrow 0 [/ math].
Llamemos a los dos mapas del medio [math] f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} ^ 2 [/ math] y [math] g: \ mathbb {Z} ^ 2 \ to \ mathbb {Z} [ / math] (desafortunadamente, Quora no admite el paquete xymatrix LaTeX).
Los rangos aquí corresponden al número de celdas de cada dimensión. En orden: una celda [matemática] 2 [/ matemática], dos células [matemática] 1 [/ matemática] y una celda [matemática] 0 [/ matemática]. El mapa [math] g [/ math] es el mapa cero, ya que [math] 1 [/ math] -cell [math] A [/ math] se conecta a través de un mapa que envía [math] [\ partial A] \ mapsto [P] – [P] = 0 [/ math] en homología (y también para [math] B [/ math]). ¿Por qué menos? ¡Porque los componentes de [matemáticas] \ parcial A [/ matemáticas] tienen orientaciones opuestas!
El mapa [math] f [/ math] también es fácil de describir. La clase fundamental de la celda [math] 2 [/ math] se envía a [math] [A] + [B] + [A] – [B] = 2 [A] [/ math]. Si esto no es evidente a partir de la descripción anterior, simplemente vea que el mapa inducido en grupos fundamentales por el mapa adjunto envía un generador de [math] \ pi_1 (A, *) [/ math] a [math] abab ^ {- 1} [/ matemáticas]. Pasar de [math] \ pi_1 [/ math] a [math] H_1 [/ math] es una abelianización, de ahí la descripción anterior. Finalmente, tomando la homología del complejo de la cadena celular resultante, tenemos [matemáticas] H_2 (K) = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] H_1 (K) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} [/ math] y [math] H_0 (K) \ cong \ mathbb {Z} [/ math]. Se proporcionan los generadores de los sumandos [math] \ mathbb {Z} [/ math] y [math] \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} [/ math] de [math] H_1 (K) [/ math] por [matemáticas] [B] [/ matemáticas] y [matemáticas] [A] [/ matemáticas], respectivamente.
Dado que los números de Betti son los rangos libres de los grupos de homología singular (que son isomorfos a los anteriores porque la botella de Klein es múltiple), tenemos [matemática] b_0 = 1 [/ matemática], [matemática] b_1 = 1 [/ matemática] y [matemática] b_2 = 0 [/ matemática].
