Una forma de hacerlo es mostrar que el determinante de
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \\ -3 & -4 & -1 \ end {pmatrix} [/ math]
es cero La matriz anterior se creó escribiendo los coeficientes de [math] i [/ math] en la primera fila, los coeficientes de [math] j [/ math] en la segunda fila y los coeficientes de [math] k [/ math ] en la tercera fila.
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Ya que
[matemáticas] \ begin {vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \\ -3 & -4 & -1 \ end {vmatrix} = 2 \ times \ begin {vmatrix} 0 & 3 \\ – 4 & -1 \ end {vmatrix} -1 \ times \ begin {vmatrix} 1 & 3 \\ -3 & -1 \ end {vmatrix} +4 \ times \ begin {vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & -4 \ end {vmatrix} [/ math]
[matemáticas] = 2 ((0 \ veces -1) – (3 \ veces -4)) – ((1 \ veces -1) – (3 \ veces -3)) + 4 ((1 \ veces -4) – (- 3 \ veces 0)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 \ veces 12 – 8 + 4 \ veces -4 = 0 [/ matemáticas]
Los vectores son linealmente dependientes.
Otra forma de mostrar esto es encontrar una combinación lineal adecuada de uno de los vectores en términos de los otros dos. Por ejemplo, el tercer vector se puede escribir en términos de los otros dos como
[matemáticas] 4i + 3j-k = 3 (2i + j-3k) -2 (i-4k) [/ matemáticas]
entonces los tres vectores son linealmente dependientes.
