¿Puede una categoría (refiriéndose a la teoría de categorías) estar completamente representada por un gráfico (dirigido o no dirigido)?

Una categoría es un multigrafo dirigido (“multi” significa que puede haber más de un borde entre los mismos nodos) con alguna estructura adicional. La estructura adicional es una relación de equivalencia en las rutas de manera que A) las rutas equivalentes comienzan y terminan en los mismos lugares, B) la composición de las rutas respeta la equivalencia y C) cada ruta es equivalente a una ruta única de un solo borde. [La condición C) es técnica; si uno se compromete a no mencionar nunca bordes, solo caminos de equivalencia, no es necesario (ya que su único efecto es asegurar que no haya distinción entre los dos)]

Entonces, si lo desea, puede pensar en las categorías como solo gráficos con información adicional sobre qué rutas deben considerarse equivalentes.

¡Oh, gran pregunta!

Comencemos hablando de carcaj. Un carcaj es solo un multidigrafo dirigido: una colección de vértices y una colección de flechas, cada una dotada con una flecha de “fuente” y una flecha de “objetivo”.

Como otros han mencionado, las categorías son como carcaj con estructura extra, la composición, satisfaciendo algunas propiedades, los axiomas de categoría. Hay un functor de la categoría de categorías (pequeñas) a la categoría de carcaj (esto se puede modificar para trabajar con categorías arbitrarias si queremos permitir carcaj grandes, pero la relación no cambia, así que no lo haré) . Este functor disfruta de tener un adjunto izquierdo, el functor que toma un carcaj y agrega libremente flechas para la composición (por lo tanto, si me das dos flechas, su compuesto solo se agrega sintéticamente), luego agrega todas las flechas de identidad y cocientes. construcción por las relaciones que hacen que las identidades hagan lo suyo. Después de que se agregan todas las flechas libres, cocientes una vez más para agregar asociatividad, ¡y ahora tenemos una categoría!

¡Esto significa que cada homomorfismo de carcaj de un carcaj Q a un carcaj subyacente de una categoría C está determinado únicamente por un functor de la categoría libre en Q a C! Dado que los adjuntos izquierdos viajan con colimits, tenemos en particular que la categoría libre en la unión disjunta de dos carcaj es la unión disjunta de sus categorías libres. Dualmente, el carcaj subyacente del producto de dos categorías es el producto de sus carcajs subyacentes.

Si vemos los monoides como categorías con un solo objeto, ¡restringirnos a la subcategoría completa de monoides en realidad nos da la relación libre de olvido entre monoides y conjuntos! Tenemos que ver un conjunto como el conjunto de flechas de un carcaj con un objeto.

Gracias por el A2A, Gus!

Una categoría no es solo el gráfico, sino también las relaciones algebraicas entre las diferentes flechas de la categoría.

El functor olvidadizo de la categoría de categorías a la categoría de gráficos debe darle la relación que le interesa.