¿Qué es una desigualdad de interpolación de todos modos?
Es una herramienta que le ayuda a controlar las “normas” en términos de otras dos “normas” relevantes, una (¡heurísticamente!) Que suele ser “más fuerte” y la otra “más débil” que la “norma” que tenía en mente para comenzar. Estoy siendo muy liberal con el uso de comillas porque realmente las desigualdades de interpolación son una herramienta muy general con varias aplicaciones diferentes.
Por ejemplo, puede controlar la norma supremum de una función f en un dominio compacto si puede vincular un solo valor (“débil”) y también puede vincular la norma supremum de su derivada (“fuerte”). Esto debería tener sentido: controlar un valor ancla la función y controlar las derivadas limita las pendientes, por lo que el resto de sus valores solo pueden ser tan grandes. La prueba es bastante simple: ¡piense en el teorema fundamental del cálculo en una dimensión!
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Riesz – Thorin es un teorema del mismo espíritu, solo que en lugar de controlar las normas [matemáticas] C ^ k [/ matemáticas] le permite controlar las normas [matemáticas] L ^ p [/ matemáticas]. A menudo puede vincular fácilmente dos o tres de las siguientes normas integrales:
[matemática] L ^ 1 [/ matemática], [matemática] L ^ 2 [/ matemática] y [matemática] L ^ \ infty [/ matemática]
La norma [math] L ^ 1 [/ math] a menudo es simple de unir porque [math] | f (x) | [/ math] es una expresión razonablemente simple. Lo mismo para la norma [matemáticas] L ^ 2 [/ matemáticas]; Esta también es una norma espacial de Hilbert y a veces se puede controlar con la transformada de Fourier. Finalmente, la norma [matemática] L ^ \ infty [/ matemática] también es fácil de controlar en varios casos.
El resto de las normas [matemáticas] L ^ p [/ matemáticas] no son tan geométricas en algún sentido y a menudo son más difíciles de controlar. Usualmente usas la desigualdad de Hölder de alguna manera inteligente, pero eso no siempre es posible. En esos otros casos, generalmente prueba Riesz-Thorin.
También debe tomarse el tiempo para familiarizarse con el teorema de interpolación de Marcinkiewicz. Es más general que Riesz-Thorin (que es razón suficiente para aprenderlo) pero no lo subsume porque no obtienes un buen control de la norma intermedia. No podrías hacer eso; Es uno de esos casos en los que necesariamente se deja caer algo en el camino al tratar de ser más general.
Espero que esto ayude.
